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1、课时提升作业(三十二)弧长和扇形面积(第2课时)(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2013·绍兴中考)若圆锥的轴截面为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥侧面展开图的圆心角是( )A.90° B.120° C.150° D.180°【解析】选D.设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n°,半径为r,则圆锥的底面直径也为r,根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,可得=πr,解得n=180.2.(2013·南宁中考)如图,圆锥形的烟囱帽底面半径为15cm,母线长为20cm,制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是( )A.150
2、πcm2 B.300πcm2C.600πcm2 D.150cm2:Z§xx§k.Com]【解析】选B.方法一:烟囱帽的面积=π×15×20=300π(cm2).方法二:圆锥展开后的扇形弧长是圆锥的底面周长,扇形的半径是圆锥的母线长,∴S=×(2×π×15)×20=π×15×20=300π(cm2).3.在Rt△ABC中,已知AB=6,AC=8,∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥,其全面积为S1;把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥,其全面积为S2.那么S1∶S2等于( )A.2∶3B.3∶4C.4∶9D.5∶12【解析】选A.∵∠A=9
3、0°,AC=8,AB=6,∴BC===10.当以AC为轴时,AB为底面半径,S1=S侧+S底=πAB·BC+πAB2=π×6×10+π×36=96π;当以AB为轴时,AC为底面半径,S2=S侧+S底=80π+π×82=144π.∴S1∶S2=96π∶144π=2∶3.二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2013·聊城中考)已知一个扇形的半径为60cm,圆心角为150°.用它围成一个圆锥的侧面,那么圆锥的底面半径为 cm.【解析】设圆锥的底面半径为r,则圆锥的母线长R=60cm,因为圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长,所以2πr=,解得r=25.答案:25【变式训练】(
4、2013·呼和浩特中考)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 °.【解析】设圆锥的母线长为l,底面半径为r,圆心角为n,则πrl=2πr2,即l=2r,∴侧面展开图扇形的圆心角为n=360°×=180°.答案:1805.(2013·泸州中考)如图,从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为 cm.【解题指南】1.求出扇形的圆心角后即可求得扇形的弧长,即圆锥的底面周长,则底面半径即可求得,2.利用勾股定理即可求得圆锥的高.【解析】圆心角是:360°×=240°,则弧长是:=12π.设
5、圆锥的底面半径是r,则2πr=12π,解得:r=6,则圆锥的高是:=3(cm).答案:36.已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°,则该圆锥的底面半径与母线长的比是 .【解析】设圆锥的母线长是R,底面半径是r,由=2πr,得=,所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4.答案:1∶4三、解答题(共26分)7.(8分)若圆锥的底面周长为20π,侧面展开后所得扇形的圆心角为120°,求圆锥的侧面积.【解析】设母线长为R,∵20π=,∴R=30,∴S圆锥侧=×30×20π=300π.8.(8分)已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13cm,BC=5cm,求以AB为轴旋转一周所得到
6、的几何体的全面积.【解析】如图所示,过C点作CD⊥AB,垂足为D点.由题意知AC==12(cm),CD===(cm),旋转形成两圆锥的底面周长为2π·=(cm),所以S全=··5+··12=(cm2).答:这个几何体的全面积为cm2.X§X§K]【方法技巧】直角三角形旋转体的全面积的求法(1)当以一条直角边为轴旋转一周时,另一条直角边为圆锥的底面半径,斜边为母线长,不难求出圆锥的侧面积和底面积,全面积为侧面积与底面积的和.(2)当以斜边为轴旋转一周时,得到两个圆锥,这两个圆锥的底面半径都是斜边的高,母线分别为两条直角边,全面积为两个圆锥侧面积的和.【培优训练】9.(10分)如图是
7、一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF长为10cm.母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且FA=2cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点.求此蚂蚁爬行的最短距离.【解析】由题意得:EF=10cm,OE(OF)=10cm,r=5cm,则2π×5=,解得n=180,即侧面展开图扇形的圆心角为180°,∴∠EOA=90°,OA=OF-AF=8(cm),∴AE==2(cm).
