2015年江苏省南京市金陵中学河西分校高三上学期数学期中考试试卷（2）

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1、2015年江苏省南京市金陵中学河西分校高三上学期数学期中考试试卷（2）一、填空题（共14小题；共70分）1.已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=xx2−3x+2=0，B=xx=2a,a∈A，则集合∁UA∪B= ．2.若向量a、b夹角为30∘，a=3，b=4，则a+b= ．3.将函数fx=2sin2x−π6的图象向左平移m个单位（m>0），若所得的图象关于直线x=π6对称，则m的最小值为 ．4.已知α，β∈3π4,π，sinα+β=−35，sinβ−π4=1213，则cosα+π4= ．5.已知fx=2x3−6x2+m（m为常数），在−2,2上有最大值3，那么此函数在−2,2上的最小值为 ．

2、6.在△ABC中，若AB=1，AC=3，AB+AC=BC，则BA⋅BCBC= ．7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=8，b=10，△ABC的面积为203，则△ABC中最大角的正切值是 ．8.已知定义在−1,+∞上的函数fx=2x+1,x≥03x+1x+1,−1f2a，则实数a取值范围为 ．9.已知函数fx的导数fʹx=ax+1x−a，若fx在x=a处取到极大值，则a的取值范围是 ．10.已知角φ的终边经过点P1,−2，函数fx=sinωx+φ（ω>0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则fπ12= ．11.函数fx=13x3−ax2−4在3,

3、+∞上是增函数，则实数a的取值范围为 ．12.如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2，AD=DC，AE=12EB．若BD⋅AC=−12，则CE⋅AB= ．13.设x∈R，fx=12∣x∣，若不等式fx+f2x≤k对于任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围为 ．14.已知fx是定义在1,+∞上的函数，且fx=1−2x−3,1≤x<212f12x,x≥2，则函数y=2xfx−3在区间1,2015上零点的个数为 ．第7页（共7页）二、解答题（共5小题；共65分）15.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosB=ccosB+bcosC．（1）求角B的大小；（2）设向量m=

4、cosA,cos2A，n=12,−5，求当m⋅n取最大值时，tanC的值．16.如图，在四边形ABCD中，CA=CD=12AB=1，AB⋅AC=1，sin∠BCD=35．（1）求BC的长；（2）求四边形ABCD的面积；（3）求sinD的值．17.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）若建立函数y=fx模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数fx模型的基本要求，并分析函数y=x150+2

5、是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y=10x−3ax+2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．18.已知函数fx=sinωx⋅cosωx+3cos2ωx−32ω>0，直线x=x1，x=x2是y=fx图象的任意两条对称轴，且∣x1−x2∣的最小值为π4．（1）求fx的表达式；（2）将函数fx的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，若关于x的方程gx+k=0，在区间0,π2上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．19.已知函数fx=alnx−ax−3a∈R．（1）当a>0时，求函数fx

6、的单调区间；（2）若函数y=fx的图象在点2,f2处的切线的倾斜角为45∘，且函数gx=12x2+nx+mfʹxm,n∈R当且仅当在x=1处取得极值，其中fʹx为fx的导函数，求m的取值范围；（3）若函数y=fx在区间13,3内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a的取值范围．第7页（共7页）答案第一部分1.3,52.31【解析】a+b=a+b2=∣a∣2+2abcos30∘+b2=31．3.π64.−5665【解析】因为α，β∈3π4,π，所以α+β=3π2,2π，所以cosα+β>0．易得cosα+β=45．又π2<β−π4<3π4，所以cosβ−π4<0，易得cosβ−π4

7、=−513.故cosα+π4=cosα+β−β−π4=cosα+βcosβ−π4+sinα+βsinβ−π4=45×−513+−35×1213=−5665.5.−37【解析】fʹx=6xx−2，故fx在−2,0上单增，在0,2上单减，所以fxmax=f0=3，得m=3，fxmin=f−2=−37．6.127.533或−38.−12,19.−1,010.−101011.−∞,3212.−43【解析】