2016年北京市朝阳区高三理科数学二模试卷.docx

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1、2016年北京市朝阳区高三二模数学（理数）一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合A=x1<2x<4，B=xx−1≥0，则A∩B=  A.x1≤x<2B.x0

2、性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=π3对称；③在区间5π6,π上是单调递增函数”的一个函数可以是  A.y=cos2x−π3B.y=sin2x−π6C.y=sin2x+5π6D.y=sinx2+π66.已知函数fx=x−1,x≤2,2+logax,x>2,a>0且a≠1的最大值为1，则a的取值范围是  A.12,1B.0,1C.0,12D.1,+∞7.某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同

3、安排方法的种数是  A.48B.72C.84D.1688.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，且EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是  A.92B.23C.33D.42第10页（共10页）二、填空题（共6小题；共30分）9.双曲线C:x23−y2=1的渐近线方程是 ；若抛物线y2=2pxp>0的焦点与双曲线C的一个焦点重合，则p= ．10.如图，P为⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于B，C两点，且PC=3PA，

4、D为线段BC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，若PB=1，则PA的长为 ；AD⋅DE的值是 ．11.已知等边△ABC的边长为3，D是BC边上一点，若BD=1，则AC⋅AD的值是 ．12.已知关于x，y的不等式组x≥0,y≥x,x+y≤2,2x−y≥k,所表示的平面区域D为三角形，则实数k的取值范围是 ．13.为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元．每年销售蔬菜的收入为26万元.设fn表示前n年的纯利润fn=前n年的总收

5、入−前n年的总费用支出－投资额，则fn= （用n表示）；从第 年开始盈利.14.在平面直角坐标系xOy中，以点A2,0，曲线y=1−x2上的动点B，第一象限内的点C，构成等腰直角三角形ABC，且∠A=90∘，则线段OC长的最大值是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=−13，c=3，sinA=6sinC（1）求a的值；（2）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．16.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的

6、概念性指数值．交通指数范围为0,10，五个级别规定如下：交通指数0,22,44,66,88,10级别畅通级本畅通轻度拥堵中度拥堵严重拥堵某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）的交通指数（平均值），其统计结果如直方图所示．第10页（共10页）（1）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数（2）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50分钟，严重拥堵时70分钟，以直

7、方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间X的数学期望．17.如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=12AD=2.∠A=60∘，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE（如图2）（1）求证：A1O⊥CE（2）求直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值（3）侧棱A1C上是否存在点P，使得BP∥平面A1OF，若存在，求处A1PA1C的值，若不存在，说明理由．18.已知函数fx=−12x2+a+1x+1−alnx，a∈

8、R（1）当a=3时，求曲线C:y=fx在点1,f1处的切线方程（2）当x∈1,2时，若曲线C:y=fx上的点x,y都在不等式组1≤x≤2,x≤y,y≤x+32,所表示的平面区域内，试求a的取值范围．19.在平面直角坐标系xOy中，点Px0,y0y0≠0在椭圆C:x22+y2=1上，过点P的直线l的方程为