高等数学基础例题讲解

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1、第1章函数的极限与连续例1．求．解：当时，，当时，，由极限定义可知，不存在（如图）．例2．求（是非零常数）．解：令，显然当时，于是．例3．求．解：令，当时，有，原式例4．求．解：例5．求．解：令，则，时，于是第2章一元函数微分及其应用例1．讨论函数在处的可导性与连续性．解：为初等函数，在其定义域上连续，所以在处连续．又不存在．所以函数在处连续，但不可导．事实上，曲线在点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具有垂直于轴的切线（如图）．例2．求的各阶导数．解：，，，…….，所以：．例3．求的导数．解：此函数直接求

2、导比较复杂，先取对数再求导可简化运算．此函数的定义域为当时，，函数式两边取对数得：因此上式两边对x求导，得整理后得，当时可得同样结论．例4．．解：这是“”型，通分即可化为“”型．．例5．求内接于半径为的球内的圆柱体的最大体积．解：设圆柱的底半径为，高为则体积，而故（），问题转化为求函数的最大值．由得驻点（负值不合题意舍去）．根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大值的，而最大值显然不能在端点，处取得，故只在唯一驻点处取得．即当，时圆柱体的体积最大，最大体积．第3章一元函数的积分学例1．（

3、）．解：当时，设()，代入有：原式．为将变量还原为，借助如图的直角三角形（或利用三角恒等式）有，从而：．当时，令，则，由上，我们有：．综合以上结论得，．例2．求．解：．例3．讨论积分的收敛性．解：当时，，发散；当时，；当时，有，所以，广义积分收敛；当时，有，从而是发散的．例4．求曲线和围成的图形的面积．图3-14解：由得交点，选为积分变量，把面积分成两部分．另解：选为积分变量，积分区间，．显然选为积分变量计算较简单．例5．计算曲线，从到的弧长．解：．第4章常微分方程例1．求齐次方程的通解．解：原方程变形

4、为，设，则，代入方程有：，分离变量积分有：，即：（这里），所以，原方程的通解为．例2．求解微分方程．解：对应齐次方程为：，分离变量后积分，可得其通解为：；设，代入方程有：解得：，所以原方程的通解为：．例3．求微分方程的通解．解法一：原方程化为：，对应齐次方程为：0，分离变量积分得对应齐次方程的通解为：；设，代入方程有：解得：，所以原方程的通解为：．解法二：直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解，有：例4．求的通解．解：连续积分三次得：，，．一般将通解写成：．例5．求微分方程的通解．解：这是一个不显

5、含的二阶微分方程，令，则，代入原方程得：，这是一个可分离变量方程，分离变量：，积分得：（这里），所以原方程的通解为：，一般写成：．故原方程的通解为：．第5章空间解析几何例1．设点，，的方向角，，求：（1）的值；（2）点的坐标．解：（1）由有，所以或；（2）设，有，，（或），则点的坐标为或．例2．证明三角形的三条高线交于一点.证明：如图，设在边，上的高交于点，且令，，，有，，，再由，有，，两式相加有，从而有，所以，的三条高线交于一点.例3．平面过三个定点，，（，，均不为零），求该平面的方程．解：如图，设所

6、求平面方程为：，由所求平面过三点，，有：，代入所设平面方程得：．例4．已知点和直线：，求过点并且与直线垂直相交的直线方程．解法一：过点且与直线：垂直的平面方程为：，即，再设直线与此平面的交点为，则将直线代入上面的平面方程得：解得，从而有交点，所以．取所求直线的方向向量，则所求直线方程为．解法二：设垂足为，其在直线L上对应的参数为，则：，，由，解得，从而有垂足，所以．取垂线的方向向量，则所求垂直相交的直线方程为．从此例我们也顺便得到了点P到直线L的距离为：例5．设圆柱面上有一质点，它一方面绕轴以等角速度旋

7、转，另一方面同时以等速度平行于轴的正方向移动，开始时（），质点在处，求质点运动的方程．解：如图，设时间时，质点在点，是在平面上的投影，则，，，．所以质点运动的方程为．此方程称为螺旋线的参数方程．第6章多元函数微分学例1．求．解：当沿直线趋于时有：但仍不能说函数在存在极限．实际上，当沿曲线趋于时有：．所以不存在．例2．求函数在点处沿其梯度方向的方向导数．解：，其方向余弦，所以，函数在点沿其梯度方向的方向导数为．例3．设，求其二阶偏导数．解：，，，，，．例4．设，，，求，解：由公式（1）得：例5．要修建一容

8、积为的长方体水池，问其长、宽、高怎样选取才能使用料最省？解：设水池的长、宽、高分别为，表面积为，则有．从而：（）根据实际情况，水池表面积的最小值一定存在，并在函数定义域内取得，现在函数在内只有唯一驻点，故可判断当长和宽等于时，水池的表面积最小．第7章多元函数积分学例1．计算，其中是由直线，及所围成的闭区域．解法一：如图，积分区域可看成型区域，则解法二：积分区域亦可看成型区域，则例2．计算，其中解：在极坐标系下，积分区域可表示为所以例3．求抛