乘法公式经典题型及拓展

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1、乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:①位置变化,(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化,(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2③指数变化,(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化,(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化,[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)

2、=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化,(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化,(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧逆用公式变化,(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz例1.已知,,求的值。解:∵∴=∵,∴=例2.已知,,求的值。解:∵∴∴=∵,∴例3:计算199

3、92-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。解:19992-2000×1998=19992-(1999+1)×(1999-1)=19992-(19992-12)=19992-19992+1=1例4:已知a+b=2,ab=1,求a2+b2和(a-b)2的值。〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。16解:a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2(a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x2-z2的值。〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y

4、、z的值,比较麻烦,考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的,所以只要求出x-z的值即可。解:因为x-y=2,y-z=2,将两式相加得x-z=4,所以x2-z2=(x+z)(x-z)=14×4=56。例6:判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几?〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案,故有一定的规律可循。观察到1=(2-1)和上式可构成循环平方差。解:(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1=(2-1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1=24096=161024因为

5、当一个数的个位数字是6的时候,这个数的任意正整数幂的个位数字都是6,所以上式的个位数字必为6。例7.运用公式简便计算(1)1032(2)1982解:(1)1032=(100+3)2=1002+2´100´3+32=10000+600+9=10609(2)1982=(200-2)2=2002-2´200´2+22=40000-800+4=39204例8.计算(1)(a+4b-3c)(a-4b-3c)(2)(3x+y-2)(3x-y+2)解:(1)原式=[(a-3c)+4b][(a-3c)-4b]=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2(

6、2)原式=[3x+(y-2)][3x-(y-2)]=9x2-(y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4例9.解下列各式(1)已知a2+b2=13,ab=6,求(a+b)2,(a-b)2的值。(2)已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2,ab的值。(3)已知a(a-1)-(a2-b)=2,求的值。(4)已知,求的值。分析:在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中,如果把a+b,a2+b2和ab分别看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个。解:(1)∵a2+b2=13,ab=6(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2

7、´6=25(a-b)2=a2+b2-2ab=13-2´6=1(2)∵(a+b)2=7,(a-b)2=4a2+2ab+b2=7①a2-2ab+b2=4②①+②得2(a2+b2)=11,即①-②得4ab=3,即16(3)由a(a-1)-(a2-b)=2得a-b=-2(4)由,得即即例10.四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗?为什么?分析:由于1´2´3´4+1=25=522´3´4´5+1=121=1123´4´5´6+1=361=192……得猜想:任意四个连续自然数的乘积加上1,都是平方数。解:设n,n+1,n+2,n+3是四个连续自然数则n(n

8、+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(

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