z变换的收敛域

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1、§7.3z变换的收敛域主要内容重点：几种常见序列的z变换收敛域问题收敛域的定义两种正项级数收敛性的判别方法几种常见序列的z变换收敛域问题一、收敛域的定义收敛的所有z值之集合为收敛域。（Regionofconvergence简称ROC）对于任意给定的序列x(n)，能使与拉氏变换的情况类似，对于单边变换，序列与变换式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同一个变换式。下面举例说明以上情况。例1：已知两序列分别为x1(n)=anu(n)，x2(n)=-anu(-n-1)，分别求它们的z变换，并确定它们的收敛域。如果

2、z

3、>a,则上面

4、的级数收敛，这样得到解：由上可知，不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。在收敛域内，z变换及它的各阶导数是连续函数。也就是说，z变换函数是收敛域内每一点上的解析函数。根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即要求可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定法和根值判定法。1）比值判定法所谓比值判定法就是说若有一个正项级数，令它的后项与前项的比值等于，即二、两种正项级数收敛性的判别方法2)根值判定法所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n次根等于下面利用上述判定法讨论几类序列的z变换收敛域问题1、有限长序列（有

5、始有终序列）这类序列只在有限的区间具有非零的有限值此时z变换为当时，收敛域为当时，收敛域为当时，收敛域为nn2n1x[n]XX三、几类序列的收敛域2、右边序列:只在区间内，有非零的有限值的序列其中为收敛半径.可见,右边序列的收敛域是半径的圆外部分。(1)n1<0n2=∞(2)n1>0n2=∞因果序列是一种特殊的右边序列，收敛域为3、左边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。(1)n1=-∞n2>0(2)n1=-∞n2<04、双边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列圆内收敛圆外收敛没有收敛域有环状收敛域例2：求序列x[n]=an

6、u[n]-bnu[-n-1]的z变换,并确定收敛域（b>a,b>0,a>0）。解：由例1的结果可直接得到：因为b>a,这样得到Re(z)jIm(z)思考题1.不同的序列可以得到相同的z变换式吗？2.判别正项级数的收敛性的方法有哪些？3.序列的形式与双边z变换收敛域的关系？