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1、第十章圆锥曲线方程→→PAPB心得体会证:设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),由题意知→=→,AQQB→→→→设A在P,Q之间,PA=λAQ(λ>0),又Q在P,B之间,故PB=-λBQ,因为→→→→PB>BQ,所以0<λ<1,由PA=λAQ知(x1-x0,y1-y0)=λ(x-x1,y-y1),ìx0+λxx1=1+λæx0+λxy0+λyö解得í,故点A坐标为,.y0+λyè1+λ1+λøy1=î1+λ→→同理,由PB=-λBQ知(x2-x0,y2-y0)=-λ(x-x2,y-y2),ìx0-λxx2=1-λæ
2、x0-λxy0-λyö解得í,故点B坐标为,.y0-λyè1-λ1-λøy2=î1-λ2æy0+λyöæx0+λxö因为点A在抛物线上,所以=2p,è1+λøè1+λø(y)20+λy=2p(1+λ)(x0+λx)①,同理(y)20-λy=2p(1-λ)(x0-λx)②,由①-②得2y0×(2λy)=4pλ(x+x0),则y0y=p(x+x0).所以点Q在直线y0y=p(x+x0)上.注三大圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,当定点P(x,y)在曲线上时,相应的定00x0xy0yx0xy0y直线2+2=1,2-2=1,yy0=p(
3、x0+x)均为在定点P(x0,y0)处的切线.abab22xy【例10.54】(2008·安徽理,22)设椭圆C:2+2=1(a>b>0)过点M(2,1),且左焦ab点为F1(-2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时,在线段→→→→AB上取点Q,满足
4、AP
5、
6、QB
7、=
8、AQ
9、
10、PB
11、.证明:点Q总在某定直线上.【分析】用待定系数法求解椭圆的方程,巧妙地利用定比分点解答点Q的轨迹问题.2ìc=222【解析】(1)由题意知2122xyí2+2=1,解得a=4,b=2,所求椭圆方
12、程为+=1.ab42222îc=a-b(2)如图10-30所示,设A(x,y),B(x,y),Q(x,y),1122→→PAPB→由题意知,不妨设A在P,Q之间,PA→=→AQQB→=λAQ(λ>0),→→→又Q在P,B之间,故PB=-λBQ,因为PB>→BQ,所以0<λ<1,→→由PA=λAQ得(x1-4,y1-1)=λ(x-x1,y-y1),图10-30·161·新课标高考数学题型全归纳心得体会ì4+λxx1=1+λ→→解得í;同理,由PB=-λBQ,得(x2-4,y2-1)=-λ(x-x2,y-y2),1+λyy1=î1+λ
13、ì4-λxæ4+λxö2æ1+λyö2x2=1-λè1+λøè1+λø解得í.因为点A在椭圆上,所以+=1,1-λy42y2=î1-λ22(4+λx)(1+λy)2即+=(1+λ)①.4222(4-λx)(1-λy)2同理,由点B在椭圆上,得+=(1-λ)②.428×2λx2×2λyy由①-②得+=4λ,因为λ≠0,所以x+=1.422所以点Q在定直线2x+y-2=0上.【评注】由模型的结论不难知动点Q(x,y)总在定直线x0xy0y222+2=1上,a=4,b=2,x0ab4xy=4,y0=1,得+=1,即2x+y-2=0.42
14、┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型153定值问题┈┈┈思路提示:求定值问题常见的方法有两种:┈┈┈(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.┈┈┈(2)直接推理,计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模┈型一:三大圆锥曲线中,设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB,其垂直平分线交焦┈┈┈
15、FRe点┈┈所┈在┈轴┈于┈点┈R┈,┈则┈┈┈┈=┈┈.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈AB222xy证:设椭圆2+2=1(a>b>0),如图10-31所示,作辅助线,ab设A(x1,y1),B(x2,y2),易知Rt△FMR∽Rt△AHB,所以AF-BFFRFM2AF-BF===ABAHx1-x22x1-x2(∗)图10-31由定义知AF+AF′=2a①,22(x)22[(x)22]AF-AF′1+c+y1-1-c+y1从而AF-AF′===2ex1②.2a2a①+②得AF=a+ex1③,同理BF=a
16、+ex2④.2③-④得AF-BF=e(x1-x2),FRe(x1-x2)e代入式(∗)得==.AB2x1-x22FRe类比椭圆,在双曲线中有=.AB2·162·第十章圆锥曲线方程在抛物线中,设抛物线方程为y2=2px(p>0),如图10-32心得体
