利用空间向量知识求空间中的二面角

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1、第七讲立体几何中的向量方法第3课时　利用向量知识求空间二面角第八章掌握利用向量方法解决面面的夹角的求法．重点：二面角与向量夹角的关系．难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角．温故知新1．回顾复习二面角及其平面角的定义，求法．思维导航2．怎样用空间向量来求二面角的大小？知识点：二面角3．用向量方法求二面角平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，＝θ，则二面角α－l－β为θ或π－θ．设二面角大小为φ，则

2、cosφ

3、＝__________＝__________．

4、cosθ

5、利用向量法求二面角

6、的两种方法(1)若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱l垂直的异面直线,则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角,如图①.(2)设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小,如图②例题讲解：正方体ABEF-DCE′F′中,M,N分别为AC,BF的中点(如图),求平面MNA与平面MNB所成角的余弦值.【解析】方法一：设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B-xyz，则A(1，0，0)，B(0，0，0)．取MN的中点G，连接BG，AG，则因为△

7、AMN，△BMN为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN.所以∠AGB为二面角的平面角或其补角．因为所以故所求两平面所成角的余弦值为方法二：设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)．令x＝1，解得y＝1，z＝1，所以n1＝(1，1，1)．同理可求得平面BMN的一个法向量n2＝(1，－1，－1)．所以cos〈n1，n2〉=故所求两平面所成角的余弦值为练习：如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．(1)求证：PA⊥EF.(2)求二面角D-FG-E的余弦值．【

8、解析】以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),F(0,0,1),G(-2,1,0).(1)证明：由于＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，则＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，所以PA⊥EF.(2)易知＝(0，0，1)，＝(1，0，0)，＝(－2，1，－1)，设平面DFG的法向量m＝(x1，y1，z1)，则解得令x1＝1，得m＝(1，2，0)是平面DFG的一个法向量．设平面EFG的法向量n＝(x2，y2，z2)，同理可得n＝(0，1，1)

9、是平面EFG的一个法向量．因为cos〈m，n〉＝设二面角D-FG-E的平面角为θ，由图可知θ＝π－〈m，n〉，所以cosθ＝所以二面角D-FG-E的余弦值为.课后训练：(1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为()(2)PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝求二面角A-PB-C的余弦值．课堂小结：利用空间向量求二面角的方法(1)若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱l垂直的异面直线,则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角。。。。(2)设n1,n2分别是平面α,

10、β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小。