紧致riemann对称空间整体几何性质及其应用

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1、摘要本论文探讨了紧致Riemann对称空间的若干整体性质，并给出了其应用．它由两部分构成．在第一部分(即第二章和第三章)里，我们pfl,Lie群Lie代数理论为工具，探求任一紧致不可约Riemann对称空间的切割迹与其所对应的限制根系的Cartan多面体之间的关系，得到定理1．／e1]／82]设．(u，口，(，))为一不可约紧正交对称三弛代数，砑=厅／露为其所对应的祭致单连通Rlemon耐称空间，M=面／r为面的一个a伽以刚e{彬式，其中r为％(露)的子群．则6(D)=Ad(K)(TrvfZ'lPr)，C(o)=Ad(K)(丌∥了砰)．这里z丽(露)表示丽上在露的左作用下的不

2、动点构成的集合，其上有自然的群结构．z裔(露)的所有子群，与面的所有Clifford．Klein形式存在一一对应的关系；因此所有紧致不可约Riemann对称空间M都可以写成面／r的形式．群r所对应的多面体砰，砰定义为Pr={z∈△：(z，et)≤去(色，e‘)对任意满足豆而(7r厂了色)∈r的i成立)；砰={z∈Pr：(z，妒)=1或者存在一个满足豆而(7r佩)∈r的歹，使得(z，勺)=去(勺，勺))．其中△为c砒如多面体，e1，⋯，el为△的顶点，面表示厨：上的指数映照．在此基础上我们计算了每一类型的紧致不可约Riernann对称空间的单一半径和直径，并把结果列在表3．4．

3、1和表3．4．2中．特别地，我们有定理2．膨JJ『设M为单连通紧致不可约崩e仇口n耐称空间，K为M的截面曲率上界，则M的单一半径为丌K一§．在第二部分(第四章和第五章)，我们的研究对象是一类特殊的紧致对称空间：(实)Grassmann流形。J．J0st和忻元龙f26】找到了Gn。m上的极大测地凸区域毋x(局)；我们将构造毋x(岛)上的凸函数口和u，并对它们的He嬲iall给出了估计：定理3．1eo]tI，u是IBJx(Po)cUcGn，m上的凸函数．在{P∈U：t，(P)S2)上，我们有估计肌ss(t，)≥u(2一t，)9+州Vu--，五I+P删+l，、ld"@妣在{P∈U：

4、u(P)≤2)上，我们有估计№㈤≥(2一∽9+帮砒。砒．in学位论文其中p=min(n，m)．由此我们可以对欧氏空间的极小子流形(维数和余维数任意)给出曲率估计．利用这些估计，可以得到一系列几何结论，包括下列的Bernstein型定理：定理4．159／设M为舻+r，l的礼维完备极小子流形，礼≤6&m≥2．若M的G0猫诈包含在Gn，m中一个半径为譬丌的测地球中，则M必为仿射线性子空间．定理5．／删设M={(z，，(z))：z∈舻}为由m个函数尸(z1，⋯，矿)给出的n维极小图，m≥2，n≤4．若妒K西+骖o．o划s。)l5<2则尸必为仿射线性函数，从而M必为仿射线性子空间．定理

5、6．声纠设M为Rn+仇的佗维完备极小子流形，m≥2．若M的Gaus艨包含在Gn，m中以蜀为中心，半径为簪丌的测地球中，并且(年万一po，y)-1的增长可以控制?(雩⋯。7)-1=---O(R氟其中p表示Gn，m上从蜀出发的距离函数，R是M上从任一点出发的欧氏距离．则M必为仿射线性子空间．定理7．／oo]设M={(z，，(z))：z∈舻)为由m个函数，口(z1，⋯，Xn)给出的n维极小图，m≥2．若，妒H如+；筹别5q且(2一as)～=D(曰§)，其中铲=川2+Ifl2．则，a必为仿射线性函数，从而M必为仿射线性子空间．中图分类号：018。关键词：对称空间，切割迹，Cartan

6、多面体，单一半径，直径，凸函数，曲率估计，Bern-stein型定理，Lawson-Osserman问题．GeometricalPropertiesofCompactRiemannianSymmetricSpacesandTheirApplicationsYangLing(majoredinbasicmathematics)DirectedbyProf．XinYuanlongInthethesis，weshallstudyseveralglobalpropertiesofcompactRiemanniansym-metricspacesandgivetheirapplicat

7、ions．Thethesisconsistsoftwoparts．Inthefirstpart(Chapter2andChapter3)，withtheaidofthetheoryofLiegroupsandLiealgebras，weexploretherelationshipbetweenthecutlocusofallarbitraryirreducibleRiemanniansymmetricspaceofcompacttypeandtheCartanpolyhedronofcorrespond