新高中数学课程知识增益

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1、新高中數學課程知識增益面積與體積（2012年3月2日；2012年6月11日）引言（蕭文強）古代希臘人對幾何學的貢獻，眾所周知。有位數學家把它總結如下：「作為圖形量度意義底下的幾何學，是由許多文化自發地發展的，始於公元前幾千年。我們今天所認識的幾何學，即根據理想圖形的抽象表述，驗證其真確性只需要純粹推理，則是由希臘人創造的。」（SaulStahl,ThePoincaréHalf-Plane:AGatewaytoModernGeometry,1993）有「歷史之父」之稱的希臘學者希羅多德（Herodotus，公元前五世紀）在其名著《歷史（History）》有這樣的一段記載：「他們

2、也告訴我，國王〔Sesostris，約公元前十四世紀〕把全埃及的土地均分，每位埃及子民領取得一份，需繳交若干稅款，…每當〔尼羅〕河流泛濫，某部份土地遭沖掉，…即量度剩下的土地以調整每人應付的稅款。據我猜測，幾何學即源於此，並且之後傳給希臘人。」的確，幾何（geometria）一詞的希臘字源，乃“geo（地）”及“metron（量度）”，正是這個意思。通常大家把公元前三世紀成書的經典鉅著歐幾里得《原本》（Euclid’sElements）視為數學的原型與精神，奠下現代數學公理化及演繹處理方法的基礎。再經十九世紀的修補工程，譬如1899年德國數學家希爾伯特（DavidHilber

3、t,1862-1943）的名著《幾何基礎（GrundlagenderGeometrie）》，成為今天的數學表述模範。這樣的敘述，雖然與實情相差不太遠，卻把事情過份簡化了。有另外一種說法，認為《原本》的鋪陳、表述、甚至寫作動機，都與面積和體積的量度有關，也就是說，從開始歐氏幾何便立足於度量（metric）（S.D.Agashe,Theaxiomaticmethod:Itsoriginandpurpose,JournaloftheIndianCouncilofPhilosophicalResearch,Vol.6,no.3(1989),109-118.）。《原本》卷二命題十四說：

4、「作一個正方形等於已知直線形。」為什麼需要構作這樣的正方形呢？先看如何比較兩條線段，那是容易不過的事情，只用把其中一條放置於另一條上面，看看那一條能容下別一條。其實，那不正是卷一命題三要做的事嗎？那是必須倚靠公理一、二、三才能證明的。要比較兩個直線形（用今天慣用的數學名詞，叫做多邊形）卻沒有那麼容易了，除非那兩個直線形都是正方形。如果兩個直線形都是正方形，只用把其中一個放置於另一個上面，使左下角的直角重疊（這兒用上了公理四），看看那一個能容下別一個(見圖1)。1圖1因此，把一個直線形化為面積相等的正方形，是一個很有意思（亦很需要考慮）的問題。要解決以上的問題，可以分兩部份進行

5、，先把給定的直線形化為面積相等的矩形，再把矩形化為面積相等的正方形，那分別是卷一命題四十二、四十四、四十五和卷二命題五的內容。說仔細一些，第一部份是把給定的直線形分成三角形，再把每個三角形化為給定線段上的一個面積相等的矩形（更一般地，是有一個給定角的平行四邊形），然後把所有這些矩形疊起來(見圖2)。圖2要注意一點，證明這些命題，倚靠了那著名的公理五。第二部份需要用到《原本》卷二命題五，是把矩形化為面積相等的磬折形（gnomon）。由於磬折形是兩個正方形之差，倒過來看，如何把兩個正方形之和化為一個更大的正方形，是個關鍵，那不正是著名的「畢氏定理」（或稱「勾股定理」）的內容嗎(見

6、圖3)？圖32從這個角度看，「畢氏定理」並非從天而降，而《原本》開首的鋪陳及公理的佈置也就井井有條了。最後，把卷一命題四十五、卷二命題五和卷一命題四十七（「畢氏定理」）合起來便得到卷二命題十四的證明(見圖4)。圖4曲線形面積又如何呢？《原本》亦有討論這方面的結果，最著名的是卷十二命題二：「兩圓面積之比等於它們直徑平方之比。」另一種表示方式是，是圓的面積，是圓的直徑，k是個常數。其實，常數是，乃熟悉的圓周率，或者說，是圓的半徑，在總結時我們會回到這一點。古代希臘人也懂得計算幾何形體的表面積，那是更複雜更困難的問題，而且在日常生活也不如圖形面積的計算那麼常見。最著名的例子大概

7、是阿基米德（Archimedes，公元前287-212）的名著《論球和圓柱,I（OntheSphereandCylinder,I）》的命題三十三：「任一球面等於它的大圓的四倍。」也就是說，，是圓球的表面積，是圓球半徑。還有一個非常巧妙的計算，值得提及，即是希波克拉底（Hippocrates，約公元前460-308）化月牙形為方的證明。是個以為直徑的半圓，是中心，是半圓上的點，使垂直於。是以為直徑的半圓，是上的一點，叫做月牙形(見圖5)。圖5由於半圓與半圓之比等於與之比，也就是2與1之比，故半圓等於四份一