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1、42数学通报2010年第49卷第2期高考创新题着实让人期待杜继渠(江苏省新沂市第一中221400)案例1(09全国.理16)已知AC,BD为反了,求得的是最小值怎么办?担心不无道理,有22圆O:x+y=4的两条相互垂直的弦,垂足为好多这样失败的先例,我们不能不考虑这一问题.M(1,2),则四边形ABCD的面积的最大值取特殊值来检验一下,当两条弦长分别垂直于坐为.标轴时,容易发现两条弦长是一大一小,大的阅读欣赏这是一道试图以代数方法处理几23,小的22,得四边形面积为26(<5).有了何问题的创新题,体现命题者明确的考察目标,重这样的信息,相信要踏实一
2、些.点突出,难易适度,且区分度好.试题呈现了多个知识点交汇,而每一个知识点都那么鲜活,有利于考查初高中数学知识与综合分析能力.直觉判断数学客观题以其短小精干、信息集中、解法灵活著称.小题可以大作!,这是笔者常看到的文章,其作者说的在平时研究中,小题也可拓展延伸,小题可能变为大题,甚至成名题.要求最大值,可用一元函数单调性研究,对二严格推证如上图,设AC=m,BD=n,则元函数,可消元,也可利用基本不等式,而基本不2222m2n2m+n等式的出现,让我们联想等号的选取,于是思考:+d1=4,+d2=4.从而得=224是不是当两弦相等时最大?!带着这种感觉,作图2222mnm+n8-(
3、d1+d2)=5,由基本不等式&分析.如下图:24解得SABCD&5.解题反思∋四边形面积最大值与点的位置有关,而且,到圆心距离相等的点,有相同的最22m+n大值;(解题过程中,我们发现=5,这表4明两条弦长平方和始终为20.平方和不变,不等于乘积不变,经上面运算可知,随着弦的转动,面由AC=BD,AC∀BD#OMH=45∃,则积在变;)借助参数方程处理.沿直线AC的参数x=1+tcos6OH=OM%sin45∃=于是AC=BD=方程为,直线BD的参数方程为2y=2+tcos2262r-OH=24-=10,所以SABCD=x∗=1+cos+4222,分别代入x+y=4,得
4、AC%BD=5.y∗=2+cos+22直觉判断来得快,但缺乏足够的证据,假如求到参数t,的方程分别为2010年第49卷第2期数学通报43t2+2t(cos+2sin)-1=0和2+2(2cos对于(*)式,若要等号取到,应该
5、a
6、=
7、b
8、,-sin)-1=0,利用根与系数关系,求出(t1-也即
9、cos+2sin
10、=
11、2cos-sin
12、cos22t2)和(1-2)(因为AC=
13、t1-t2
14、,BD=
15、112=22sin2tan2=,这与2cos2+AC%BD22-2
16、),可利用S=求出最大值.具体2sin2=0tan2
17、=-22矛盾.如下:222(t1-t2)=(t1+t2)-4t1t2=4[(cos+问题到底出在哪儿?若ab=0,则a,b中至22sin)+1],其中t1t2=-1,少有一个为0,不妨设b=0,即2cos-sin=022(1-2)=(1+2)-412=4[(2costan=2,此时cos+2sin=3,恰有2-sin)+1],其中12=-1,AC%BDS==4;若要cos+2sin=0tanAC%BD2于是S==21=-,此时,2cos-sin=-3,依然有S=2222[(cos+2sin)+1][(2cos-sin)+1].A
18、C%BD化简:设a=cos+2sin,b=2cos-2=4.表明,在用不等式放缩过程中,等号AC%BDsin,于是,面积S==是取不到的,既然等号取不到,那就不能利用基本2不等式,这恰恰就是本题的症结所在.2222222(a+1)(b+1)=2ab+a+b+1.2222322a+b有人在考察式子2sin(2+!)+1借助ab&得22时,质疑sin(2+!)取0有何不妥?假如22222S&(a+b+2)=(a+b+2),易求sin(2+!)=0,2+!=k,k,Z,tan2=22a+b+2=5.2-tan!,而从S+2(
19、a
20、
21、b
22、+1)=222借助a+b+2
23、ab
24、
25、得S+2(
26、a
27、
28、b
29、+1)2sin2sin2222cos2++1,可以求得tan!==22cos2++12222,即tan2=-22,而当tan2=-22时,23=2sin(2+!)+12恰有tan=2,这似乎没有什么不妥!再仔细品+2(0+1)2=2(*)味,发现ab=0,含三种情形:∋a=0,b−0;(a−0,b=0;)a=0,b=0.以上,我们只分析了前两反思的反思到底有没有最小值?如果有,者,而忽略了),因为,最
