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1、矩阵的广义逆及其应用摘要：矩阵的广义逆，即Moore-Penrose逆，在众多理论与应用科学领域，例如微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、系统理论、测量学等，都扮演着不可或缺的重要角色。本文首先介绍了广义逆的定义以及广义逆的性质，主要内容是矩阵广义逆的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，同时加以举例说明。关键词：分块矩阵；广义逆；Moore—Penroce逆；Cramer法则.ThegeneralizedinversematrixanditsapplicationAbstract:Thege
2、neralizedinverseofmatrix,i.e.theinverseofMoore-Penrose,playsanindispensableroleinmanyfieldsoftheoriesandappliedsciences,suchasdifferentialequation,numericalalgebra,linearstatisticalinference,optimization,theanalysisofelectricalnetwork,systemtheoryandsurveying,etc.Thethesisintroducesthedefinitio
3、nandthepropertyofthegeneralizedinverseforthefirstplace,anditsprimarycontentistheapplicationofgeneralizedinversematrixincludingitsallkindsofapplicationsintheblockmatrixtheory,itsCramerruleanditscalculation.Besides,briefexplanationsaregiventosometheorieswithillustrations.Keywords:blockmatrix;gene
4、ralizedinverse;inverseofMoore-Penrose;Cramerrule.1引言-17-矩阵的广义逆概念是由美国学者E.H.Moore首先提出的，但在此后的30多年里，矩阵的广义逆很少被人们所注意，直到1955年英国学者R.Penrose利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后，广义逆矩阵的理论与应用才进入了迅速发展的时期。半个世纪以来，在众多理论与应用科学领域都扮演着不可或缺的重要角色。陈永林，张云孝，杨明，刘先忠,徐美进等在文献[1],[2],[12],[14]中给出了矩阵广义逆的定义，还对部分定义进行了举例证明。罗自炎，修乃华，杨明等又在文
5、献[8],[14]中给出了矩阵广义逆的各种定理；而陈明刚，燕列雅，李桃生，姜兴武，王秀玉，吴世，杜红霞，刘桂香等又分别在文献[4],[6],[9],[13]，[16]中对矩阵广义逆进行了推广，介绍了分块矩阵的广义逆以及循环矩阵的广义逆。张静，徐美进，徐长青，杜先能,蔡秀珊,崔雪芳等又在文献[3],[12],[15]，[17],[18]中给出了矩阵广义逆的计算方法，并加以举例说明。同时还提出了广义逆的Cramer法则及其应用。潘芳芳，梁少辉，赵彬等又在文献[5],[11]中介绍了Quantale矩阵的广义逆及其正定性。鲁立刚，何永济，王自风，赵梁红等则在文献[7],[10]介绍了Fuz
6、zy矩阵广义逆的性质和应用。本文在上述工作的基础上，总结了广义逆的定义以及广义逆的性质，给出矩阵广义逆在数学中的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，对一些重要的结论给出典型例题加以说明。2.矩阵广义逆的定义及其推导2.1定义定义1.对于任意复数矩阵，如果存在，满足Moore—Penroce方程则称为的一个Moore—Penroce广义逆，或简称加号逆，记作=。如果某个只满足其中某几条，则称它为的某几条广义逆。如若有某个满足（1）式，则称为的{1}广义逆，或简称减号逆，记作=。如果Y满足（1）和（2）式，则称为
7、的广义逆，记作Y{1,2}。例1.设当时，可逆,且;当时，不可逆,且不难验证。注意到,这说明的元素并非是关于的元素的连续函数。一般地，把的元素的变化引起其秩的变化时，这种非连续性将会发生。例2.设矩阵为矩阵。若，定义；当时，（）。定义2.设为行列矩阵，若其中，的级数相同，则。-17-（1-1）其中为行列式中元素的代数余子式，则称为的广义伴随矩阵。定义2.设为行列矩阵，若,则称为一广义非奇异矩阵；若，则称为一广义奇异矩阵。2.2方程的理论推导命题1.。证明：
