标量场的基本定理

《标量场的基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、标量场的梯度1.方向导数：研究方向导数是为了研究在给定时刻标量场（标量函数）随空间坐标的变化情况。标量函数在某点处的方向导数定义为：设有一个标量场（标量函数），从场中某点M位移到邻近的另一点时函数值从变为，则比值就是标量场函数在M点处的方向导数，如图所示：在上图中，设和是相差很小的两个等值面，且。M点位于等值面上，沿两个不同的路径位移到等值面上的P点和Q点。其中，与等值面的法线方向平行。很明显，，所以，。若设方向的单位矢量为，且与之间夹角为，则有：2.定义矢量为等值面u在M点处的梯度。显然：等值面上M点处，沿任意方向的方向导数

2、，式中是该点处u的梯度大小，或者说是M点处的最大值，的方向就是该点处u变化最快的方向；等值面上M点处，沿任意方向的方向导数，式中是该点处u的梯度大小，可以写成。所以，标量场u中某点处的梯度的“大小”就是在该点处沿各个方向的方向导数的最大值，而其“方向”与该点处等值面的法线方向平行，并指向函数u值增大的方向。3.梯度的计算公式：由可见，在直角坐标系中，注意到，而，可以设计一个矢量算符grad，使得不难看出，这个就是著名的哈密顿算符(Hamilton算符)，读做，它兼有矢量运算与微分运算的双重作用，常被称为矢量微分算符。今后，我们

3、通常用表示u的梯度：上式是在直角坐标中的梯度公式，其它坐标系中的公式见教材中附录。例：证明（重要关系式）说明：1).；2).是观察点0到场点p的矢径；是源点到场点p的矢径；3).当源点不变，场点p变化时，的梯度表示为；当场点不变源点变化时，的梯度表示为。为简便计，采用球坐标系，将坐标原点设在源点上，有：将坐标原点选在场点p上，有：注意到和方向相反，由上两式可得：矢量场的散度力线是矢量场的形象表述，比如电力线、磁力线。通量则是描述矢量场特性的一个重要概念。1.面元矢量一个面元由其大小和方向确定。关于面元方向的规定：1).对于开曲

4、面，是这个开曲面上的一个面元。这个开曲面一定由一闭合曲线C围成。规定，与C满足右手关系时，>0，反之<0；2).对于闭曲面，与闭曲面外法线同向时为正，反之为负。2.通量如图所示，矢量场穿过面元的通量为，于是，矢量场穿过S的通量：若曲面为闭曲面，则：显然，对于闭曲面，上式表示穿过曲面的通量。当其值大于零时，表示有净通量穿出，说明闭曲面内有产生场的源；当其值小于零时，表示有净通量穿入曲面，说明闭曲面内有终结场线的漏。如果其值为零，表明闭曲面内源和漏的和为零，亦或什么都没有！3.散度穿过闭曲面的通量只说明了整个闭合面中源的情况，不能

5、说明闭合面内每点的矢量性质，它没有反映面内源在每点处分布特性。为了研究一个点附近的通量，可以令闭曲面包围的体积趋于零，即矢量场在该点处的散度(divergence)：显然是一个标量，它表示从该点单位体积内穿出来的通量，或者叫做通量体密度，它反映了在该点处的通量源强度。很显然，它与沿空间坐标的变化有关。散度公式在直角坐标系中：散度定理(高斯公式)定理内容：上式表明，矢量场散度的体积分，等于矢量场对于包围这个体积的外表面的通量。证明从略。利用散度定理，可以方便地降低积分重数亦或升高之。例：计算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面

6、的通量。解：在直角坐标系中。注意到对比：，显然：此外，由于矢量的散度反映了在该点的通量源强度，因此定义散度不为零的矢量场为有源场或者叫做有散场，而在各点处的散度均为零的矢量场为无源场或管形场：无源场有源场矢量场的旋度1.线元矢量与矢量的线积分矢量的线积分：式中，线元矢量，是与之间夹角。若积分路径C闭合，则有：上式称为矢量的环流。矢量的环流也是描述矢量场性质的重要参量，可以相似地说，如果矢量沿闭合曲线的一旦不为零，则此矢量场存在“涡旋源”。2.矢量场的旋度从分析矢量场的性质来看，除了要知道矢量场的环量（积分量）之外，更为重要的是

7、还应知道在每个点附近的环流的情况。为此，把闭合路径C缩小，令其面积，取极限：定义其为矢量场的旋度(curl,rotation)，记为注意面元是矢量，其大小为，方向与C的循行方向成右手关系。可见：1).是个矢量；2).的方向就是就是当面元的取向，使环流密度最大时面元的方向；3).的大小是矢量在该点处的最大环量面密度；表示了在该点处的涡旋源强度。若某区域中各点处的等于零，则称为无旋场或保守场。3.旋度的运算：在直角坐标系中：在其它坐标系中，的旋度也用表示，具体公式见教材。4.斯托克斯定理矢量分析中有一个重要的定理：式中，S是C所包

8、围的曲面面积，称为斯托克斯定理(Stokes’sTheorem)，证明从略。例：求，沿着XY平面上的一个闭合路径C的线积分。解：由于积分只是在XY平面内，故，如果应用斯托克斯定理，有：由，易得场函数的二阶微分运算梯度、散度和旋度运算都属于场函数的一阶微分运算，只要场函数是连续