基于交错矩阵空间的ldpc码

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1、万方数据引言纠错编码是数字通信和计算机两个系统的重要组成部分【11】．早在1948年香浓发表的《通信的数学理论》为信道编码技术的发展指明了方向【5】5．LDPC信道编码技术是编码界的重要成果之一，它具有很好的汉明距离特性，译码性能非常接近香浓限【3】．这个码是由美国的加拉格尔教授在1962年提出的．LDPC码也称为Gallager码【2】【刮．这个码具有非常低的线性译码复杂度，是一个好码．加拉格尔教授提出LDPC码之后由于当时缺乏可行的译码算法，所以LDPC码一直没有得到编码界的重视．直到1981年，塔纳从图论的角度研究TLDPC码

2、，提出利用双向二部图来描述LDPC码【6】6，提高了LDPC码的实用价值并且显著降低了译码复杂度．LDPC码的迭代译码思想也为实现迭代信道估计、迭代均衡以及信号检测提供了新的思路．研究LDPC码主要是因为LDPC码有以下几个优势：1)LDPC码的译码算法是一种基于稀疏矩阵的并行迭代译码算法，运算量较低．由于结构并行的特点，使之在硬件实现上比较容易．因此在大容量的通信应用中，LDPC码更具有优势．2)LDPC码的码率可以任意的构造，具有更大灵活性．3)LDPC码具有更低的错误平层，可以应用于有线通信、深空通信等对误码率要求更加苛刻的场

3、合．所以LDPC码在理论上和实际应用上都具有极其重要的意义．本文主要讨论的是基于交错矩阵空间的LDPC码．对此，给出了以下定理：定理AG(n，2)的最小距离d：2：掣．定理B当q是2的方幂时，G(4，q)的最小距离d≥4q4—2q3+3q2+g+2．定理C当q是2的方幂时，G‘(n，g)的最小距离d=q+1．下面叙述一下文章的主要结构．第一部分主要给出了线性码、LDPC码、c凫(It，g)和瓯+(n，g)的概念以及一些相关的定义和定理，第二部分确定TCk(n，2)的最小距离，第三部分给出-fCk(4，g)的最小距离的下界，第四部分确

4、定了伉+(4，g)的最小距离，第五部分总结了本文所计算的结果，并提出了一些未解决的问题．万方数据万方数据第一章预备知识1．1线性码和LDPC码的相关概念令F口表示含有q个元素的有限域，其中g是一个素数的方幂，则F3nJ为F口上的向量空间【10

5、．设c为F∥的一个非空子集合，若c，c，∈C，对任意的o，a7∈F口，均有ac+a'd∈C，则称c为q元线性码．即向量空间F≯’的一个线性子空间C叫作口元线性码【1】．c的码长为n，C中的向量称为码字【7】．码字的非零分量的个数称为码字的Hamming权．两个不同的码字a和b相异位的分量个数称

6、为a和b之间的Hamming]距离．C的最小距离是不同码字之间Hammingl眶离的最小值，表示为d(C)．对于线性码C，它的最小距离也是指C中非零码字的Hamming权的最小值．设线性码c为F∥中的一个k维向量子空间，则c是F口上的线性n，尼，d1码，其中d为最小距离．因为c为F∥中的一个尼维向量子空间，所以c一定是某个齐次线性方程组hllXl+h12x2+⋯+hinXn=0，^2121+h22x2+⋯+h2nzn=0，九n一^：，lXl+hn-七，2X2+⋯+危n一七一zn=0的全部解，其中H=(^巧)1stsn—k，1≤J≤。

7、为％上的(孔一尼)×礼(n一南行礼列)矩阵，且秩为n—k．则日称为线性V'3C的--个校验阵．校验阵可以用来决定线性码C的最小距离，把日表示成列向量的形式：日=cu-，u。，一·，仳。，，ui=(九兰：J(1≤i≤n)引理1．1【1】设c是参数为h，k，d】的q元码，H=(u1，U2，⋯，Un)是c的一个校验阵．如％-ul，U2，⋯，?An中i-k：意d一1个列向量均在Fq上线性无关，且存在d个在F叮上线性相关，则G的最小距离为d．证明设c=(C1，C2，⋯，cn)是叼中Hamming权为f的向量，即c有2个分量Q17．一，c／,不

8、为零且其余分量为零，则3c∈c兮。=日c，=c乱·，¨z，⋯，珏。，(三)=巳。un+⋯+ci。u旬．万方数据定义1．1112】LDPC码是一类线性分组码，也称为低密度奇偶校验码，由它的校验阵来定义，它的校验阵具有如下性质：(1)每行有P个1；(2)每列有7个1；(3)任意两列至多在一行同时为1；(4)P、7分别比校验阵的列数和行数小．定义1．2Is]将图G的顶点集y(G)划分为两个非空子集Ⅵ和K，即v(a)=Ku％，KnK=仍，若满足每一条边都有一个顶点在Ⅵ中，另外一个顶点在％中，则这样的图称为二部图．其中顶点集记为y(G)，边集

9、记为E(G)．定义1．3N若图G中出现一个点边交替的Np=Vi。eilVilei2⋯eikVik，其Vii∈y(G)，eiJ∈E(C)Heij=(vii川vij)，则这个序列称为一个途径．定义1．4f8】若途径的顶点和边都不重复，则这