复数域和实数域上多项式

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1、辽东学院教案纸课程：高等代数第4.6.7页蚅螆膅节莅蕿肀莁蒇螄羆莀蕿薇袂荿艿螂螈荿蒁薅膇莈薃袁肃莇蚆蚄罿莆莅衿袅莅蒈蚂膄蒄薀袇肀蒃蚂蚀羆蒃莂袆袂聿薄蚈袈肈蚇羄膆肇莆螇肂肇葿羂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃膄莃螃聿膃蒅薆羅膂蚇螂羁膁莇蚄袇膁葿袀膅膀薂蚃肁腿蚄袈羇芈莄蚁袃芇蒆袆蝿芆薈虿膈芅莈袅肄芅蒀螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肀莁蒇螄羆莀蕿薇袂荿艿螂螈荿蒁薅膇莈薃袁肃莇蚆蚄罿莆莅衿袅莅蒈蚂膄蒄薀袇肀蒃蚂蚀羆蒃莂袆袂聿薄蚈袈肈蚇羄膆肇莆螇肂肇葿羂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃膄莃螃聿膃蒅薆羅膂蚇螂羁膁莇蚄袇膁葿袀膅膀薂蚃肁腿蚄袈羇芈莄蚁袃芇蒆袆蝿芆薈虿膈芅莈袅肄芅蒀螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肀莁蒇

2、螄羆莀蕿薇袂荿艿螂螈荿蒁薅膇莈薃袁肃莇蚆蚄罿莆莅衿袅莅蒈蚂膄蒄薀袇肀蒃蚂蚀羆蒃莂袆袂聿薄蚈袈肈蚇羄膆肇莆螇肂肇葿羂羈肆薁螅袄肅蚃薈膃膄莃螃聿膃蒅薆羅膂蚇螂羁膁莇蚄袇膁葿袀膅膀薂蚃肁腿蚄袈羇芈莄蚁袃芇蒆袆蝿芆薈虿膈芅莈袅肄芅蒀螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肀莁蒇螄羆莀蕿薇袂荿艿螂螈荿蒁薅膇莈薃袁肃莇蚆蚄罿莆莅衿袅§6复数域和实数域上多项式教学目的通过2学时的讲授，使学生基本掌握复数域、突数域上多项式的因式分解定理，熟悉n次多项式的根与系数的关系．教学内容本节讨论复数域和实数域上多项式的因式分解问题，并介绍复系数多项式根与系数的关系¾¾Viète定理．6.1Ｃ上的多项式的因

3、式分解大家知道，"f(x)ÎF[x]，其中degf(x)=n>0，在F中f(x)未必有根．但是对于f(x)ÎC[x]的情形，却有重要的定理4.6.1(代数基本定理)任何n(>0)次复系数多项式在C中至少有一个根．注意到20世纪代数学的发展，这个定理叫做复数理论的基本定理更准确些．远在1629年，A.Girard对它就有所预见，后来J.L.R.D’Alembert，L.Euler，J.L.Lagrange给出过证明，C.F.Gauss在D’Alembert等人工作的基础上，1799年给出了第一个实质性的证明，后来他又给出了四个证明．目前，这个定理已有很多证明．下面介绍

4、基于复变函数论的一个证明，供同学们参考．Liouville定理若函数f(z)在复平面C上解析，并且有界，则f(z)必为一常值函数．Liouville定理的证明可以在复变函数的教材中找到．这里只指出函数f(z)在复平面C上解析的意思是：f(z)在复平面C上的每一点的导数都存在．复变量函数的导数定义以及求导公式都与数学分析中实变量函数一样．例如，若函数f(z)，g(z)在复平面C上解析，并且对于C上每一点z，有g(z)¹0，则在复平面C上也解析，并且．代数基本定理的证明假如一个n次(n>0)复系数多项式f(x)在复数域中没有根，则对于复平面C上每一点z，有f(z)¹0．

5、由于多项式函数在复平面C上是解析的,于是函数在复平面上也解析．由于，所以存在正实数r和，使得当时，而当时，连续函数在上有界m2．因此，对于一切C，有辽东学院教案纸课程：高等代数第4.6.7页于是，由Liouville定理知道，必为一常值函数，从而f(z)为一个常值函数，这与多项式f(x)的次数大于零矛盾．因此，由Bezout定理(定理4.5.2)和定理4.6.1得到推论4.6.1每一个n(>0)次多项式在复数域上必定有一个一次因式．推论4.6.2复数域上的每一个次数大于1的多项式都是可约多项式．再由定理4.4.2，我们推得定理4.6.2(复系数多项式因式分解定理)每

6、一个n(³1)次复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解为一次因式的连乘积．因此，n次复系数多项式具有如下标准分解式，(1)这里是互不相同的复数，N*，且．由标准分解式易见推论4.6.3每一个n(³1)次复系数多项式在C上有n个根(重根按重数计算)．下面举一个例子说明复系数多项式唯一因式分解定理的应用．例1设f(x)ÎC[x]．对于aÎC，表示a在映射f下的原象．设f(x)，g(x)ÎC[x]首1．证明，若，且，则f(x)=g(x)．证设max{degf，degg}=n．不妨设degf=n．显然∩Æ．如果能证明∪则由推论4.5.1得，f(x)=g(x)．设多项式f(x

7、)，f(x)-1的标准分解式分别是C；C．则∪．根据定理4.4.3，我们有，其中h(x)不能被所有整除，也不能被所有整除．于是．另一方面我们有=．因此，．辽东学院教案纸课程：高等代数第4.6.7页6.2R上多项式的因式分解引理4.6.1若是实系数多项式f(x)的一个复根，则的共轭数也是f(x)的一个复根，并且与有相同的重数．因此，实系数多项式的虚数根两两成对．证设R[x]，则由于f(x)是实系数的，所以，即是f(x)的一个复根．若是实数，则，其重数相同当然成立．设是虚数，则是实系数多项式，且g(x)

8、f(x)．于是f(x)=g(x)h(x)，其中h(x)ÎR[x