收敛数列的性质

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1、.§2收敛数列的性质Ⅰ.教学目的与要求1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题.2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限.3．掌握数列极限迫敛性定理、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性.Ⅱ.教学重点与难点:重点:收敛数列的性质.难点:收敛数列的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容收敛数列有如下一些重要性质：定理2．2(唯一性)若数列收敛，则它只有一个极限．证设是的一个极限．我们证明：对任何数不是的极限．事实上，若取，则按定义，在U(之外至多只有中有限个项，从而在U()内

2、至多只有{中有限个项；所以不是的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限．一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实．定理2．3(有界性)若数列收敛，则为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有证设取，存在正数N，对一切>N有即记则对一切正整数都有．注有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列有界，但它并不收敛．定理2.4(保号性)若(或<0)，则对任何(或...，存在正数，使得当时有(或)．证设．取(>)，则存在正数，使得当时有，这

3、就证得结果．对于的情形，也可类似地证明．注在应用保号性时，经常取.定理2.5(保不等式性)设与均为收敛数列．若存在正数，使得当时，有，则证设分别存在正数时，有，（）当时有.()取，则当时，按假设及不等式(1)和(2)有由此得到由任意性推得，即请学生思考：如果把定理2.5中的条件换成严格不等式，那么能否把结论换成，并给出理由.例1设．证明：若则（3）证由定理2.5可得若，则由，任给，存在正数，使得当时有，从而即故有若，则有.任给，由，存在正数N，使得当时有...从而．(3)式得证．定理(迫敛性)设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，(

4、4)则数列收敛，且．证任给，由，分别存在正数与，使得当>时有，(5)当时有．(6)取，则当时,不等式(4)、(5)、(6)同时成立，即有．从而有，这就证得所要的结果．定理2．6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具．例2求数列的极限．解记，这里，则有由上式得，从而有.(7)...数列是收敛于1的，因对任给的，取，则当时有．于是，不等式(7)的左右两边的极限皆为1，故由迫敛性证得．在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则．定理2．7(四则运算法则)若与为收敛数列，则，，也都是收敛数列，且有，特别当为常数时有若再假设及，

5、则也是收敛数列，且有.证由于及，因此我们只须证明关于和、积与倒数运算的结论即可.设则对任给的分别存在正数与，使得当当取则当时上述两不等式同时成立，从而有1．2．（8）由收敛数列的有界性定理，存在正数，对一切有.于是，当...时由（8）式可得.由的任意性，得.3．由于根据收敛数列的保号性，存在正数，则当时有.取则当时有由的任意性，这就证得.例3求，其中，．解以同乘分子分母后，所求极限式化为.当时有.于是，当时，上式除了分子分母的第一项分别为与外，期于各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于；当时，由于，故此时所求的极限等于0．综上所述，得到例4求其

6、中....解若则显然有;若,则由得若,则例5求解由及例1得最后，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理．定义1设为数列，为正整数集的无限子集，且则数列称为数列的一个子列,简记为.注1由定义1可见，的子列的各项都选自，且保持这些项在中的先后次序．中的第项是中的第项，故总有．实际上本身也是正整数列的子列．例如，子列由数列的所有偶数项所组成，而子列则由的所有奇数项所组成．又本身也是的一个子列，此时，，...注2数列本身以及去掉有限项后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列．例如和都是的非平凡子列．由上节例可知：数列与

7、它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．定理2．8数列收敛的充要条件是：的任何非平凡子列都收敛．证必要性设，是的任一子列．任给，存在正数，使得当时有．由于，故当时更有，从而也有，这就证明了收敛(且与有相同的极限)．充分性考虑的非平凡子列，与．按假设，它们都收敛．由于既是，又是的子列，故由刚才证明的必要性，．（9）又既是又是的子列，同样可得（10）(9)式与(10)式给出所以由上节例7可知收敛由定理2．8的证明可见，若数列的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与必收敛于同一个极限．于是，若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限

8、不相等，则数列一定发散．例如数列，其偶数项组成的子列收敛于1，而奇数项组成的子列收敛于—1，从而发散.再如数列，它的奇数项组成的子列即为，由于这个子列