导数的应用二——恒成立问题的解题策略

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1、b导数的应用二——恒成立问题的解题策略一．典例分析提炼方法例1．若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围。变式训练1．若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围。2．若不等式对任意的恒成立，求实数c的取值范围。3．若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围以及与满足的关系式。二．考题训练形成能力1．设函数(I)求的单凋区间：(Ⅱ)求所有实数，使，对恒成立。注；为自然对数的底数。2．设函数，若对所有的都有成立，求实数的取值范围.bb3．设函数对任意，恒成立，则实数m的取值范围是___________4.已知函数其中(I)若在处取得极值，求的值.（

2、Ⅱ）求的单凋区间.（Ⅲ）若的最小值为1.求的取值范围.三．反馈练习总结提升1.设,且曲线在处的切线与轴平行．(I)求的值，并讨论的单调性：(II)证明：对,不等式恒成立。2．设函数,其中为实数．(I)已知函数,在处取得极值，求的值：(Ⅱ)已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．3．已知函数(I)当时，讨论的单调性(II)设．当时，若对任意,存在,使,求实数取值范围．bb4．已知函数(I)讨论函数的单调性：(II)设,证明：对任意,5.设函数(I)求函数的单调区间；(II)已知,对任意成立，求实数的取值范围。6.已知在区间[-1，1]上是增函

3、数。(I)求实数的值组成的集合A：(II)设关于的方程,的两个非零实根为,试问：是否存在实数m。使得不等式对任意的及恒成立?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．bb参考答案一．典例分析提炼方法例1．(分离参数),因为，所以的最大值为1所以变式l、或或解得：或变式2、，，当时．为极大值．而，则为最大值，要使恒成立，只需，解得或变式3、，二．考题训练形成能力1、(I)解：因为，其中所以由于，所以的增区间为，减区间为(Ⅱ)证明：由题意得，即由(I)知在[1,e]内单调递增．要使，对恒成立，只要解得2、令对函数求导数：令解得……5分(i）当

4、时，对所有，，所以在[0，+∞)上是增函数，bb又，所以对，都有即当时，对于所有，都有……9分（ii）当时，对于，所以在是减函数又所以对，都有即当时，不是对所有的，都有成立综上，的取值范围是：（-∞，1]……12分3、由题意知在上恒成立，在上恒成立，当时，函数取得最小值，所以，即解得或4、解(I)在x=1处取得极值，，即，解得(II)，①当时，在区间(0，+∞)上，，的单调增区间为(0，+∞)．②当时，由解得．由，解得的单调减区间为，单调增区间为（Ⅲ）、当时，由(Ⅱ)①知．的最小值为bb当时，由(Ⅱ)②知，在处取得最小值综上可知，若得最小值为

5、1，则a的取值范围是[2，+∞)．三、课后练习l、解：(I)．有条件知，故，于是故当时，，当时，从而在(-∞，-2)，(1，+∞)单调减少，在(-2，1)单调增加．(II)由(I)知在[0，1]单调增加，故在[0，l]的最大值为最小值为,从而对任意有而当时，,从而2、解(1)由于函数在时取得极值，所以,即(2)由题设知：对任意都成立,即对任意都成立设,则对任意为单调递增函数所以对任意,恒成立的充分必要条件是,即,于是的取值范围是3、解：(I)因为所以令(1)当时，bb所以，当时,此时,,函数单调递减当时，,此时,,函数单调递增．(2)当时，由

6、,即,解得①当时，恒成立，此时,函数在(0，+∞)上递减②当时，,时，,此时,函数单调递减；时,,此时,函数单调递增；时，,此时,函数单调递减：③当时，由于,,,此时,函数单调递减；时，,此时,函数单调递增．综上所述：当时，函数在(0，1)上单调调递减；函数在(1，+∞上单调递增；当时，函数在(0，+∞)上单调递减，当时，函数在(0，1)上单调递减；函数在上单调递增；函数在上单调递减．(II)因为,由(I)知，,,当时，函数单调递减;当时，,函数单调递增,所以在(0，2)上的最小值为由于“对任意,存在,使"等价于在[1，2]上的最小值不大于在

7、(0，2)上的最小值”(*)bb又，所以①当b

8、②显然不成立：当时，②或或所以，存在实数m，使不等式，对任意及恒成立，其取值范围是b