中心极限定理发展

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1、概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。1920年，G.波伊亚称这类定理为中心极限定理。它是概率论中最重要的一类定理，有着广泛的实际背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。独立随机变量的中心极限定理　　历史上最初的中心极限定理是讨论n重伯努利试验（见二项分布）中，事件A出现的次数μn渐近于正态分布的问题。若记事件A出现的概率为p(A)=p，不出现的概率为q=1-p，1716年前后，A.棣莫弗对p＝1/2作了讨论，随后

2、，P.-S.拉普拉斯推广到一般情形，得到：当－∞<α0，使当那么当n→∞，的分布渐近于标准正态分布，即　　随着特征函数（见概率分布）的引入，中心极限定理的研究得到了很快的发展。20世纪20年代，Y.W.林德伯格和P.莱维证明了林德伯格－莱维定理：对于独立同分布的随机变量序列{xn}，

3、当Exk=α及varxk=σ2有限时，部分和Sn的标准化的分布渐近于标准正态分布。它在数理统计的大样本理论中有重要的应用。1935年，林德伯格和W.费勒又进一步解决了独立随机变量序列的中心极限定理的一般情形，即林德伯格-费勒定理:且费勒条件成立，当且仅当林德伯格条件成立，即对任给正实数τ，，式中Fk(x)=p(xk≤x)。这个结果使长期以来作为概率论中心议题之一的关于独立随机变量序列的中心极限定理得到根本解决。前述诸结果都是它的推论。　　此后中心极限定理的研究基本上围绕几个方面进行：一是减弱对随机变量独立性的要求，考虑具有某种相依性的随机变量；一是讨论向标准正态密度函数收

4、敛的问题；再就是估计向正态分布收敛的速度及有关问题。局部极限定理　　向正态密度函数收敛的问题虽然在概率论的早期工作中就出现了，但是一般性结果直至20世纪中期才得到。在棣莫弗－拉普拉斯定理形成的过程中，首先解决的是，在n重伯努利试验中，事件A出现的次数μn等于k的概率pn（k）＝p(μn＝k)渐近于正态密度的问题，即所谓棣莫弗－拉普拉斯局部极限定理:在任给的有限区间［с，d］中，对于满足的k，一致地成立，，式中是标准正态密度函数。这一结论的推广就是讨论取值为b+Nk(N=0，±1，…)的独立随机变量序列｛xk｝的相应问题，即格点极限定理。对于独立同分布情形，1948年Б.Β

5、.格涅坚科给出了相当简明的充分必要条件；对于独立非同分布情形，于50年代也给出了充分条件。当独立随机变量序列｛xk｝的标准化部分和的密度函数pn(x)存在时，讨论pn(x)向标准正态密度函数(x)收敛的问题称为局部极限定理。格涅坚科也于1953年对独立同分布情形给出了十分简洁的充分必要条件，即：当且仅当存在某N，使pN（x）有界时，成立对于独立非同分布情形，也在一定假设下由Β.Β.彼得罗夫给出了充分必要条件。相依随机变量的中心极限定理　　这一问题至今仍是许多概率论学者所注意的课题，其中讨论得较多且获得实际应用的有m相依随机变量序列、强平稳随机变量序列、鞅、马尔可夫过程及其

6、他泛函，以及各种类型的统计量序列。对于这些序列在附加一定条件时，中心极限定理也成立。这便使得许多实际问题中的随机变量或随机过程可视为正态的。收敛速度的估计　　为了讨论向正态分布收敛的速度，20世纪40年代，先后由A.C.贝里及C.G.埃森给出了下述著名的埃森不等式:对于独立随机变量序列{xn}，记其标准化部分和的分布函数为Fn(x)，当(k=1，2，…)时，便有其中A是常数，这一不等式给出了向正态分布收敛时误差的精确估计。这方面的研究已相当深入。大偏差定理　　对于独立同分布的随机变量序列{xn}，若，则对标准化部分和及任意的M>0，当0≤x≤M时，一致地成立：如果x的上界

7、M随着n的增大而单调趋于无穷，则与上述结果类似的定理称为大偏差定理。这类结果在诸如重对数律(见大数律)的研究中是很重要的。确切地说，设Mn随n单调上升，且如果成立：则称对Mn大偏差定理成立。1938年，H.克拉默在渐近展开的基础上证明，若存在正常数H，使当｜t｜