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1、线性方程组的解法及其应用摘要：本文首先介绍了线性方程组的历史,然后阐明了齐次线性线性方程组和非齐次线性方程组的定义；并列出了求解线性方程组的三种方法：克拉默法则，消元法及LU分解法；通过对这几种求解线性方程组的方法的比较与讨论，列举出了这些重要的理论在解决实际问题中的应用，如解决维他命的配方问题，配平化学方程式问题，化肥问题等.关键词：线性方程组，矩阵，克拉默法则，消元法，LU分解法，线性方程组求解的应用AMethodForSolvingLinearEquationsAndItsApplicationBAIXin(Cl
2、ass1rGrade2009rDepartmentofMathematics)Advisor.ProfessorZHANGShan-meiAbstract:InthispaperrthehistoryoftheLinearequationsaregiven.Next,thedefinitionsofHomogeneouslinearequationsandNonhomogeneouslinearequationsarelisted.Thenthreemethodsforsolvinglinearequationsare
3、listed;theyare:Cramersrule,methodofelimination,theLUdecompositionmethod.Finally,someapplicationsofsolvinglinearequationsaregiven:suchastheresolventoftheformulaofVitamin;theproblemofmatchthechemicalequationandtheFertilizer.Keyword:systemoflinearequationsrmatrixzC
4、ramersrulermethodofeliminationrtheLUdecompositionmethod,Applicationofthesolutionoflinearequations.摘要1关键词11•线性方程组的历史22•线性方程组的定义22.1齐次线性方程组22.2非齐次线'性方程组33.1用克拉默法则求解线性方程组43.2利用消元法求解线性方程组错误!未定义书签。33用LU分解法求解线性方程组94线,性方程组求解的应用12结束语15参考文献151•线性方程组的历史线性方程组的求解是代数学的一个重要组成
5、部分，广泛应用于数学与其他科学领域。线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组（例如2元1次方程组）。对线性方程组的研究,最早记载在公元初《九章算术》方程章中。《九章算术》是中国古代一部重要的数学经典著作。其〃方程术〃解线性方程组的方法是世界上最早、最完整的线性方程组解法，涉及方程的矩阵表示和直除法消元。2•线性方程组的定义含有n个未知量、由m个方程组成的一般形式为：anx{+a[2x2+・•・+%"“=片,a2ix{+a22x2H—+a2nxn=b2,(1.1)其中坷,£，•••，£代表n个未知量,m是该方程组所
6、包含的方程的个数，知（心1,2，…，加;八1,2,…/）是方程组的系数，巧（丿=1,2，…，加）为常数项。常数项一般写在等式的右边,一个方程组完全由常数项与系数所确定。我们由系数按照它所在的位置，排列成一个表格：'I°22…勺”，称该表格为方程••••••••••••_amam2…amn_组（1.1）的系数矩阵,若在该表格右边再添上一列常数项,可得表格。11a2a2•••a22•••amam2a5a2nb2,称它为方程组（1.1）的增广矩阵，显然任何一个线性方程组与其增广矩阵是一一对应的。2.1齐次线性方程
7、组所谓齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项全为零。即齐次线性方程组是指形如Q]]兀]+anX2HFCl[nXn=0,°2丿
8、+°22兀2+•••+a2nXn=°，(1.2)°“內+勺2兀2+・・・+色“£=0・的方程组。2.2非齐次线性方程组所谓非齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项不全为零。例：以下是一个由两个方程构成的线性方程组：{3^1+5^2=4Xi4-2x2=1方程组中有两个未知数。用线性代数中的表示方法，这个方程组可以记录为：35■41■2■■1这个线性方程组有一组解：加I=3霁2=
9、—1。可以直接验证：3x3+5x(-l)=9・5=4]3+2x(・l)=3・2=l可以证明,这组解也是方程组唯一的解。不是所有的线性方程组都有解。以下是一个没有解的例子：{无+叼=2细+=1显然，如果有叼和霁2满足了第一行的式子的话，它们的和等于2。而第二行则要求它们的和等于0.5,这不可能。也有的线性方程组有不止一组解。例如：盒
