洛伦兹曲线与基尼系数的估计方法

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1、·　　　　　　　　　　　　　　　　　浙江经济高等专科学校学报　　　　　　　　　　　　　　第18·11卷洛伦兹曲线与基尼系数的估计方法谢　健摘　要　文章根据洛伦兹曲线的特性,设计出一条非常简明的洛伦兹曲线方程,对洛伦兹曲线进行直接拟合,分析结果表明,该方程具有明确的经济学含义,拟合效果又很好,由此推出的基尼系数的计算公式也达到较高的准确性。关键词　洛伦兹曲线　基尼系数　曲线　拟合一、引言洛伦兹曲线是美国统计学家洛伦兹提出的用来描述社会收入分配状况的一种曲线,它由累积的一定人口数占总人口中的百分比与这部分人口所获得的收入占总收入中的百分比状况来表示(如图

2、1)。图1中的45°对角线称为绝对平等线,由横轴和纵轴组成的折线称为绝对不平等线。实际收入分配曲线,即洛伦兹曲线,则是介于两者之间的一条向下弯曲的曲线,该曲线向下弯曲的程度越大,表示社会收入分配不均的程度就越严重;反之,则表示社会收入分配就越接近于平均。后来,意大利统计学家基尼根据洛伦兹曲线提出了判断收入分配平均程度的指标,被称为基尼系数。所谓基尼系数是由图1中的45°对角线与基尼系数之间的面积A和对角线与折线之间的面积A+B之比来测度的。系数越大,收入分配越不平均;反之,收入分配越接近平均。尽管洛伦兹曲线可根据收入分配的统计数据加以描绘,但至今却未

3、能找到一种有效的方法,准确地拟合洛伦兹曲线方程并由此求出精确的基尼系数。目前常被使用的方法主要有三种:(1)几何计算法。即根据分组资料,按几何图形分块近似逼近计算的方法。(2)间接拟合法。即先拟合求出收入分配的概率密度函数,再根据概率密度函数导出洛伦兹曲线。(3)曲线拟合法,即选择适当的曲线直接拟合洛伦兹曲线,常用的曲线有二次曲线、指数曲线和幂函数曲线。利用第一种方法不能得到洛伦兹曲线的表达式,只能用来计算基尼系数,但由于在计算分块面积时用直线近似地代替曲线,所估计的基尼系数要小于实际值,尤其在数据点较少时,误差较大。第二种方法由于计算收入分配的概率

4、密度的复杂性,很难提出合适的概率函数。至于第三种方法,即直接用曲线方程去拟合洛伦兹曲线,应该不失为一种较好的方法,但目前主要的问题在于现有常用的曲线并不适用,曲线含义不明确,或拟合误差较大。为了更准确地描述洛伦兹曲线和精确地估计基尼系数,我们通过分析洛伦兹曲线的特性,设计出一条洛伦兹曲线方程,对洛伦兹曲线直接进行拟合。经过实例分析,拟合效果好,由洛伦兹曲线可推导出基尼系数的计算公式,计算结果精确度也很高。二、洛伦兹曲线方程设收入变量的概率为f(Y),总人口数为N,则收入等级在Y到Y+dY内人口数的概率为f(Y)dY,在该收入级内的人口数为Nf(Y)d

5、Y,这样收入少于Y的累积人口数占总人口数的百分©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第4期　　　　　　　　　　　　　　洛伦兹曲线与基尼系数的估计方法　　　　　　　　　　　　　　　　·19·比为Y∫Nf(Y)dYY0P=P(Y)==∫f(Y)dY(1)N0式中P(Y)表示收入少于Y的人口分布函数。收入少于Y的所有人的累积收入在总收入中的份额为YY∫YNf(Y)dY∫Yf(Y)dYY001I=I(Y)=∞=∞=Yf(Y)dY(2)L∫0∫YNf(Y)dY∫Yf(Y)d

6、Y00∞式中I(Y)表示收入少于Y的所有人的收入的分布函数;L=∫Yf(Y)dY为收入的期望值或社会0总平均收入。因此,I(Y)和P(Y)的函数关系即洛伦兹曲线方程可表示成I=I(P)(3)从图2中可以看到,洛伦兹曲线oca可以看成是45°对角线oda和弓形曲线oeb的合成曲线。现设计弓形曲线oeb的方程为ABI=-AP(1-P)(4)这条方程能根据系数A和B的调整反映不同偏向的弓形曲线。当A>B时,弓形曲线偏向右边;当A

7、-AP(1-P)(6)式中:A、A、B为系数;P为按收入等级分组的累计人口数占总人口比例,0≤P≤100à;I为累计人口数比例为P的所有人的累积收入在总收入中的份额,0≤I≤100à。作为洛伦兹曲线,要求满足如下四个特性:1)洛伦兹曲线满足特殊点的数值,即当P=0时,I=0,表示0à的人口其收入为0à;P=I时,I=1,表示100à的人口其收入为100à;2)洛伦兹曲线处于绝对平等线oda下方,绝对不平等线oba上方;3)洛伦兹曲线是递增的;4)洛伦兹曲线是下凸的。dI第一个、第二个特性要求(6)式中的A>0,以及A>0,B>0;第三个特性要求>0,

8、第四个dP2dI特性要求2>0。dP现在对(6)式求I关于P的一阶导数和二阶导数:dIA-1BAB-1ABA