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1、一、知识概要（-）考纲要求掌握点点、点线、点面、线线、线面、面面距离的定义，熟练掌握各种距离的求法，其中重点为点到面的距离。（二）空间中的距离①点与点的距离（平面两点距离公式、空间两点距离公式）②点到直线的距离（一般在直线与圆版块中出现）③点到平面的距离：从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间的线段的长度。（重点）④异面直线间的距离：两条异面直线间的公垂线夹在这两条异面直线间的垂线段的长度。⑤直线与平面间的距离：如果直线和平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，垂线段的长度。⑥两平行平面间的距离：夹在两个平行平面间的垂线段的长度。二、考点透视（―）异面直线
2、间的距离（线线距离）【例1】如图，在正三棱锥P-ABC侧棱长为3,底面边长为2,E是BC中点，EF丄PA。（1）求证：EF是异面直线PA与BC的公垂线段；P（2）求异面直线PA与的距离。F【解】（1）连结PE,AE，则在等腰APBC和等边MBC中，PE丄BC,AE丄BC,又PE与AE交于点、E,rA故BC丄面PEA,而EF在平面PEA中，E故BC丄EF,又EF丄PA,即证！B（2）在APE4中，PE=2近,AE=品,PA=3,则cosZFAE=—nsinZFAE=—,故EF=sinZFAE•AE=—993【例2】正方体ABCD-A^C^的棱长为1,求异面
3、直线AG与ABJ可的距离。（使用向量法）【解】建立如图空间直角坐标系，则A（l,0,0）,A（l,0,l）,B,（1,1,1）,C.（0,1,1）_——qGAB=（0,l,l）,4C=（-1J,O）,A3=（0丄0）_____AB,设m丄AB},m丄人（7「且加二（Q,b,c）[m•AB,=0[—a+方=0—贝叫L，即补八，取Q=l，则m=(l,l,-l)=oV+c=o故异面直线AG与a妨间的距离d=⑷•△即=—
4、m
5、3B【小结】异面直线间的距离求法：(1)几何法：①找公垂线；②利用三角形求公垂线长度。(2)向量法:B‘•.—♦I4BI—♦—♦异面直线d
6、"之间的距离d=
7、AB
8、•
9、cos=—————,其中加丄彳加丄b.Aea.Beb丨加I(二)点到平面的距离(重点)【例3】如图，弧AEC是半径为1的半圆，AC为直径，点E为弧AC的屮点，点B和点C为线段AD的F三等分点，平TSAEC外一点F满足FC丄平面BED,FB=・(1)证明：EB丄FD(2)求点B到平面FED的距离.【解】(1)•・•点E为弧4C的中点，・・・ZABE=90°,即EB丄AC又vFC丄平面BED,BEu平面BED,FC丄BE又・・FC,ACu平面FBD,FC^AC=C・・・EB丄平面FED,则EB丄FD(2)FC=^BF2
10、-BC14^=2,SRi^EBD4B£BD4x1x2=1在RtFBE中，FE=ylBE2+BF1=^6,祇于FD=ED=>5・•・S、fde=^FE-/?F£=^xV6x由等体积法可知：Vb_fed=^F-BDE'即§%Sr问de*FC=—XS^FD£X力，则力=——【例4】如图，在直三棱柱ABC—A4G中，ZBAC=9QAB=AC=AA]=l,D是棱CC】上的一点，P是AD的延长线与AG的延长线的交点，且卩冋〃平面(1)求证：CD=C}D；(2)求二面角A-A.D-B的平面角的余弦值；(1)求点C到平面冋DP的距离。(用向量法)【解】(1)建立如图
11、空间直角坐标系人-勺迄，则A(0,0,0),B,(1,0,0),C,(0,1,0),5(1,0,1),设C}D=x©P5则苦二帶Y由此可得D(0丄兀)，P(0,l+——,0)1-X■Y•••人3=(1，0」)，人£=(0丄兀)・S,P=(-U+——,0)1-x设平面BA、D的一个法向量为m=(d,b,c)-AB=0仏+c二0,i—贝叫一_,叫，J令c=-l,则m=(1^,-1)[/??•>4,0=0V+cx=0一x•••PB〃平而=—l+x・(l+——)+0=01-x由此可得%=-,故CD=C,D21一1(2)由(1)知，平面BA.D的一个法向量m=(
12、l-,-l)2乂n=(1,0,0)为平面AD的一个法向量一一n?•H22••・C°S™丽乜’故二面角A一佔"的平面角的余弦值为-。(3)•••"]=(1厂2,0),PD=(0,-1,-),设平面BQP的一个法向量h=(x,”z)x-2y=0_即4z；令z=l,可得A=(l-,1)；又DC=(0,0,-)一〉，+_=0222・・・C到平面B、DP的距离d=
13、反
14、・cosv反加>=DC-h_1h~3【小结】点到面的距离求法：(1)等体积法：利用体积法求点面距离关键是寻找到合适的四面体。(2)向量法：—►一IA.B-tnI—*点A到面a的距离d=
15、A
16、B
17、•
18、cos=——二——,其中Bea,m是平面a的法向量。丨阳(三
