高等数学 考研辅导讲义

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1、高等数学考研辅导讲义概念清楚题型全面方法得当灵活熟练多元函数微分学一、二元函数1、二元函数的解析式例1设求例2.设，求本例小结2、二元函数的极限例3设，讨论时函数极限例4设，讨论时函数极限本例小结例5（常数）例6例7本例小结3、二元函数连续；偏导存在；可微的讨论连续可微偏导函数连续偏导存在（1）.函数在处连续（2）.函数在处的偏导=或=（3）.函数在处可微例8设试问该函数在点（0,0）处⑴是否连续?⑵偏导数是否存在?例9设试问该函数在点（0,0）处⑴是否连续?⑵偏导数是否存在?⑶是否可微？例10设函数，试问该函数在点（0,0）处⑴是否连续?⑵偏导数是否存在?⑶是否可微？本例小结

2、例11设求本例小结二、求偏导1.具体的复合函数求偏导例13（1）设，求（2）设，证明（3）求本例小结2.抽象的复合函数求偏导例14（1）设，其中有连续二阶偏导数，求（2）（3）设且具有二阶连续偏导数，求（4）设函数在点处可微，且，，，，求（5）设函数，其中具有二阶导数，具有一阶导数，计算本例小结3.隐函数求偏导例15（1）设（2）已知确定其中均有连续偏导数，求证。设函数由方程所确定，证明（3），求（4）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程A只能确定一个具有连续偏导数的隐函数B可能确定两个具有连续偏导数的隐函数和C可能确定两个具有连续偏导数的隐函数

3、和D可能确定两个具有连续偏导数的隐函数和本例小结4.求全微分例16（1）求函数，当时的全微分（2）设有连续偏导数，由方程所确定，求。本例小结5.综合题例17（1）（2）设用代换可把方程化为，求(3)设在第一象限内有二阶连续偏导数,且有,,又,求.(4)设求（5）设求（6）设可微，求（7）设可微，求三、多元微分学的应用1.几何应用空间曲线的切线与法平面,关键是求切向量例18在曲线的所有切线中，与平面平行的切线有几条？本例小结例19求曲线在点处的切线和法平面方程本例小结空间曲面的切平面与法线,关键是求法向量例20曲面在点的法线方程和切平面方程例21曲面与平面平行的切平面方程例22试

4、证：曲面上任意一点处的切平面在各坐标轴上截距的平方和等于常数。2.求极值例23设是由确定的函数，求的极值点和极值本例小结例24椭圆上求一点，使其到直线的距离最短本例小结例25在椭球面第一卦限上点处切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求点坐标。本例小结例26已知函数的全微分，并且，求在椭圆域上的最大值和最小值本例小结例27设有一小山，取它的地面所在平面为坐标面，其底部所占的区域为，小山的高度函数为，（1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式。（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一上山坡度最大的

5、点作为攀登的起点，也就是说，要在的边界线上找出使（1）中达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。空间解析几何一、向量例1设向量若；共面例2例3设为单位向量,且满足.求例4例5已知,求:(1)同时与和垂直的单位向量;(2)的面积(3)和角分线方向的单位向量。二、直线与平面例6求与直线及平行且过原点的平面方程。例7求过直线垂直于的平面方程。例8求过平面，的交线与垂直的平面方程例9过与及都垂直的直线方程例10过平行于且与相交的直线方程例11过与直线都相交的直线方程例12求直线的公垂线方程三、二次曲面多元函数积分学一、二重积分1.二重积分的定义2.二重积分的几何意义和物理意义若，二重积分

6、表示以为顶，以为底，侧面是以的边界曲线为准线，母线平行与轴的柱面的曲顶柱体的体积。若，二重积分表示在平面上占有区域的，面密度为的平面薄片的质量。例1.已知，求本例小结3、二重积分的性质1.，其中为区域D的面积，据此可求平面图形的面积2.比较性质若，则特别的推论：在上非负连续，若，则3.估值性质设M和m分别是在闭区域D上最大值和最小值，其中为区域D的面积，则有4.中值定理设函数在闭区域D上连续，其中为区域D的面积，则在D上至少存在一点，使5、二重积分的计算1)利用直角坐标计算二重积分a）若区域D是X型区域，则D可以用不等式来表示，则b）若区域D是Y型区域，则D可以用不等式来表示，

7、则c）若区域D即不是X型区域，也不是Y型区域，则用分块可加性，将D分成若干个X型区域和Y型区域上的积分之和。例2计算下列二重积分，其中为所围平面区域，其中所围成平面区域，其中所围成平面区域本例小结2）利用极坐标计算二重积分a）若积分区域可用不等式来描述，则b）若积分区域可用不等式来描述，则例3，其中为所围平面区域例4.设在区域上连续，且，求例5计算，其中所围成平面区域例6计算，其中所围成平面区域在第一象限内部分本例小结3）利用对称性计算二重积分i.D关于x轴对称，表示的，则a）如果，则b）如