例谈中学数学中的探究性问题 - 诸暨市浣江幼教集团

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1、.例谈中学数学中的探究性问题钱央君数理学院数学教育031专指导老师：兰春霞摘要：随着课程改革和新课标的实施，探究性问题随之进入课堂，成为教师的一门必修课。求解此类问题具有一定的综合性。本文就中学阶段的四类探究性问题作一些具体的探求。关键词：中学数学；探究；探究性学习；探究性问题波利亚在他的著作中体现出的三个学习原则中的（1）如果“头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学习不到更多的东西”；（2）“学东西的最好途径是亲自去发现它”。探究性问题既可考查学生想象能力和探究能力，又能反映学生的创造性思维，具有一定的综合性。而探究性学习是培养学生主动学习，提高

2、综合素质的一种行之有效的方法。所谓的探究性学习就是指主要以培养学生的数学创新精神和创造能力为目的的活动课程。本文抓住重点，从实际出发对探究性问题作一些具体的探求。列举了一些较典型的例子进行分析，求解。1、执因索果，直接探求此类题目较简单，也是最基本的。它常常只需根据已知量及其它们之间的关系，综合运用所学知识，求出未知量。此类问题常用于基本的代数、几何题中。例1据我国古代周髀算经记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。后人概括为“勾三、股四、弦五。”（1）观察：3，4，5；5，

3、12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算，与，，并根据你发现规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用（为奇数且3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合理猜想他们之间两种关系，并对你的猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过。运用类似上述探索的方法，直接用（为偶数且4）的代数式来表示他们的股和弦。解：（1）∵，；，；∴7，24，25的股的算式为弦的算式为（2）当为奇数且3时，勾、股

4、、弦的代数式分别，（2-1），（2+1）关系式1，弦-股=1；关系式2，勾2+股2=弦2证明关系式1：弦-股=（2+1）-（2-1）=[（2+1）-（2-1）]=1证明关系式2：勾2+股2=2+[（2-1）]2=[（2+1）]2=弦2猜想得证...（3）探索得，当为偶数且4时，股、弦的代数分别为（）2-1，（）2+1。例2（2005年金华中考题）如图，在矩形ABCD中，AD=8，点E是AB边上的一点，AE=2。过D、E两点作直线PQ，与BC边所在直线MN相交于点F。（1）点G是线段AD上的一个动点（不运动至点A、D），GH⊥DE，垂足为H。设DG为，四边形

5、AEHG的面积为，请求出与之间的函数关系式。（2）如果AE=2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。问满足条件的⊙O有几个？并求出它们的半径。QADEHMFBCNP图1解：（1）由矩形ABCD可得△AED是直角三角形∵AE=2，AD=8∴DE=6∵GH⊥DE∴△DHG也是直角三角形又∵∠HDG=∠ADE∴△DHG∽△DAE∴=∴==·8=同理可得而∴8-（2）有4个。①若O在MB上且与PQ、AB相切，记为O1，半径为r1。∴=∵∴∵∴∽∴=∴∴而∴...∴=∴②若O在BC上且与PQ、AB相

6、切，记为O2，半径为r2。同①可得r2=2③若O在BC上且与PQ、CD相切，记为O3，半径为r3。可求得r3=3④若O在BN上且与PQ、CD相切，记为O4，半径为r4。可求得r4=62、特例测探，由特殊到一般通过对特殊情况的观察、猜想、归纳、探索出一般的情况，从而使问题一般化，简单化。下面就数列中的规律性话题及代数中比较两个代数式大小的问题举两个代表性的例子进行分析，求解。例3.1求数列9，99，999，9999，……的前项和解：仔细观察题目，因为它既不是等差也不是等比数列，所以不能用等差或等比数列的求和公式来解决。如果能适当转化一下也许就能解决了。9最接

7、近10，99最接近100，999最接近1000，而10，100，1000是等比数列。∴问题已经顺利解决，对于像这样一类既不是等差也不是等比数列的数列求和问题可以运用转化的方法把它化归为我们比较熟悉的等比数列或等差数列来进行求解。例3.2如果把9改为3，即求3，33，333，3333，……的前项和解：9是3的倍数则9和3是特殊数字，若改为其他数字呢？例3.3比如求4，44，444，4444，……的前项和解：则前面已经解决了关于数字9和3的问题，对于数字为3的问题可以乘3变为9的问题，而其他数字都可以变为数字9的问题来解决，比如4可以乘以，5可以乘以，这样任何

8、数字问题就能解决了。...以上解决的是一位数的情况，如果是两位数怎