大学化学教学课件-02-9高阶导数与泰勒公式

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1、§2-9高阶导数和高阶微分。泰勒公式一、高阶导数和高阶微分定义如果函数f(x)的导数f(x)在点x处可导,即f(xx)f(x)(f(x))limx0x存在,则称(f(x))为函数f(x)在点x处的二阶导数.22dydf(x)记作f(x),y,或.22dxdx3dy二阶导数的导数称为三阶导数,f(x),y,.3dx4dy三阶导数的导数称为四阶导数,(4)(4)f(x),y,.4dx一般地,函数f(x)的n1阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数,记作nndydf(x)(n)(n)f(x),y,或

2、.nndxdx二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.相应地,f(x)称为零阶导数;f(x)称为一阶导数.高阶微分dny=f(n)(x)(dx)n=f(n)(x)dxn为函数y=f(x)在点x的n阶微分()n例1设ysin,x求y解ycosxsin(x)2ycos(x)sin(x)sin(x2)2222y(n)sin(xn)2(n)同理可得(cosx)cos(xn)2()nn(coskx)kcos(kxn)2(n)n例2设yx(R),求y,dy解1yx1

3、2y(x)(1)x()nny(1)(n1)x(n1)nnndy(1)(n1)xdx若为自然数n,则(n)n(n)(n1)y(x)n!,y(n!)0.因此，n次多项式的n+1阶导数必为零。1()n例3设y,求y.abx解1(1)(2)2y2by''b(abx)(abx)3ny()n(1)nnb!n1(abx)1()nnn!1()nn!()(1)()n1n11x(1x)1x(1x)1()nnn!()(1)n1xa

4、(xa)(n)例4设yln(1x),求y.12解y(1x)1y(1)(1x)1x(1)(2)y3(1x)(n1)!(n)n1y(1)(n1,0!1)n(1x)高阶导数的运算法则:设函数u和v具有n阶导数,则(n)(n)(n)(1)(uv)uv(n)(n)(2)(Cu)Cun(n1)(n)(n)(n1)(n2)(3)(uv)uvnuvuv2!n(n1)(nk1)(nk)(k)(n)uvuvk!nCku(nk)v(k)莱布尼兹公式n

5、k0nnknkk形式与牛顿二项公式相似：(ab)Cnabk022x(20)例1设yxe,求y.(20)2x(20)22x(19)2解y(e)x20(e)(x)20(201)2x(18)2(e)(x)02!202x2192x2019182x2ex202e2x2e22!202x22e(x20x95)有时在求导前，应对函数作适当变换。1(5)例2设y,求y.2x1解1111y()2x12x1x115!5!(5)y[]662(x1)(x1)1160[]66(

6、x1)(x1)1(n)例3y,求y.2xx2111解y()3x1x22(n)例4ycosx,求y.解y2cosxsinxsin2x(n)n1y2sin(2x(n1))221或ycosx(1cos2)x266(n)例5设ysinxcosx,求y.解2323y(sinx)(cosx)224224(sinxcosx)(sinxsinxcosxcosx)22222(sinxcosx)3sinxcosx3231cos4x1sin2x144253cos4x8

7、8(n)3ny4cos(4xn).82二.泰勒公式问题的提出x例如,当x很小时,e1x,ln(1x)x不足:1、精确度不高；2、误差不能估计.问题:寻找多项式函数P(x),使得f(x)P(x)误差R(x)f(x)P(x)可估计设函数f(x)在含有x的开区间(a,b)内具有直到0(n1)阶导数,P(x)为多项式函数2nP(x)aa(xx)a(xx)a(xx)n01020n0误差R(x)f(x)P(x)nn求n次近似多项式p(x),要求:n,(n)()(n)()pn(x0)f(x0),p

8、n(x0)f(x0),pnx0fx02n令pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)an(xx0)n1则pn(x)a12a2(xx0