切比雪夫多项式(下)

切比雪夫多项式(下)

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1、母函数十二、切比雪夫多项式(下)我们用(126)具体算几个切比雪夫多项式:再往下算就越来越麻烦.其实我们可以利用它的母函数,推导出之间的递推关系,使计算变得较为简单.由于(127)-(128)+(129),得上式左边的分子显然为因而(130)可写为,即.因而的系数都必须为0,于是得计算的递推分式:(131)从这个公式计算就比较方便了.例如从,很容易算出从,又很容易算出:从递推公式(131)还很容易看出一个事实:所有切比雪夫多项式的最高次项的系数都是1.但要从切比雪夫多项式的表达式(126)来作出这一结论并不太简单.切比雪夫多项式有许多有趣的性

2、质,这里只讨论其中较为重要的一个.为了说清楚这一重要性质,要引进几个新概念.我们把满足不等式的实数x的全体称为一个闭区间,记为[a,b].例如表示满足不等式的实数x的全体,[-1,1]表示满足不等式的实数x的全体.把所有首项系数为1的n次多项式的全体记为,那么对于任意实数,都是中的多项式.我们用∈表示是中的多项式.例如,则.由于是首项系数为1的n次多项式,所以∈.设是定义在[a,b]上的任一函数,当t由a变到b时,也跟着变化,设的最大值是M,我们把它记为,上式可改写为.因此也称M为函数与0在区间[a,b]上的偏差.现在设是中任一多项式,与0在

3、[-1,1]上的偏差设为,即.显然,是随着多项式的不同而变化的一个正数,即对于不同的,它与0的偏差也是不同的.我们问,中哪一个多项式与0的偏差最小?下面将要证明,这个与0偏差最小的多项式就是用切比雪夫多项式.定理15在最高次项系数为1的所有n次多项式中,在闭区间[-1,1]上与0有最小偏差的多项式是切比雪夫多项式.证明我们先研究一下,在[-1,1]上与0的偏差等于什么,令那么取,则有,这时,于是因而另一方面,对于[-1,1]中所有t,都有所以,即在[-1,1]上与0的偏差是.如果存在,而且它与0的偏差比与0的偏差更小,即,我们要由此推出矛盾.

4、事实上,由于,而,所以与的符号是一致的.由(132)知道,中的任何相邻两项都是异号的,因而的任何相邻两项也是异号的.如果记,那么的任何相邻两项是异号的.由于当t从变到时,是连续变化的,既然异号,那么或者由正的变到负的,或者由负的变到正的,不论何者发生,在由负到正或由正到负,中间必须经过零值,即在中必有,使;同样道理,在中必有,使,…,在中有,使.换句话说,我们找到了代数方程式的n个不同的根:.再来看一下是多少次的代数方程式.由于都是首项系数为1的n次多项式,因而便是次多项式,它不可能有n个不同的根,这是矛盾.这个矛盾的得来是因为我们假定了存在

5、与0的偏差比与0的偏差更小的,从而证明了是中与0偏差最小的多项式.证毕.从这个定理马上得到下在的推论:对于任意最高次项系数为1的n次多项式,必有.例如,当n=3时,我们便有这样的结论:对于任意的,必有.要直接证明这样的结果并不是很容易的.

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