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1、矩阵的Kronecker积及其应用陈蔚（集美大学理学院数学系2005届，厦门361021）[摘要]本文主要介绍了矩阵理论中的Kronecker积，通过对概念的引入，性质、定理的推导，简单地体现出矩阵的Kronecker积在求解几类矩阵方程中的应用。[关键词]Kronecker积，特征值，拉直，矩阵方程，＋矩阵方程，－矩阵方程，矩阵微分方程0、引言众所周知，我们学习到的矩阵运算中，普遍提及的均是乘积问题，两矩阵可以相乘的条件是：前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数，如果不满足这个条件，则我们就无法求解这两个矩阵的乘积，但我们却可以求它们的Kronecker积.对于矩阵的K
2、ronecker积问题，绝大多数人是陌生的.本文主要介绍了Kronecker积的定义、性质、应用，让大家一起来领略这个新知识点的风采.文中所用到的符号均可从参考文献[1-11]中找到.一、矩阵的Kronecker积的概念 设，，则称如下的分块矩阵为与的Kronecker积（也称为直积或张量积）.是一个块的分块矩阵，所以上式还可以简写为=.例1.1设,，求和.解=，=.这个例子表明，矩阵的Kronecker积与乘积一样不满足交换律，即≠.一、矩阵的Kronecker积的性质、定理及推论由定义1.1，容易证明性质2.1.性质2.2设与为同阶矩阵，则（1）. （2）.性质2
3、.3（）=（）.性质2.4设=，=，=，=，则（）（）=.证 （）（）=====.推论2.1（1）=.（2）=.上面两个式子只要等号右边有意义，则左边也有意义，而且两边相等.推论2.2若为阶矩阵，为阶矩阵，则=.利用性质2.1—2.4及推论2.1，可以得到以下常用到的性质.设是阶矩阵，是阶矩阵.性质2.5若、都可逆，则也可逆，且.证根据性质2.4，， ，∴.推论2.3若均为方阵，且均可逆（=1，2，…）,则.证运用归纳法.当=2时，由性质2.5知：等式成立.设当=时，成立.则当=+1时，根据性质2.5，有：==，从而，等式成立.推论2.4 .证由性质2.4、2.5知：=
4、.性质2.6若、均为上（下）三角矩阵，则也是上（下）三角矩阵.性质2.7若、均为对角阵，则也是对角阵.性质2.8若、均为对称矩阵，则也是对称矩阵.定义2.1酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵称为酉矩阵，即满足：.性质2.9若、均为酉矩阵，则也为酉矩阵.定义2.2Hermite变换在酉空间的标准正交基下的矩阵称为Hermite矩阵，即满足：.性质2.10若、均为Hermite矩阵，则也为Hermite矩阵.性质2.11 设=，=，则，.性质2.12设=，=，则rank()=rankrank.证设rank=，rank=.对矩阵，必存在可逆矩阵、，使得，其中=.对矩阵，必存在
5、可逆矩阵、，使得，其中=.则由性质2.4知：==.由性质2.5知：、仍为可逆矩阵.∵矩阵乘以可逆矩阵后，其秩不变.∴rank()=rank（）==rankrank.设是个线性无关的维列向量，是个线性无关的维列向量，则个维列向量(=1,2,…,;=1,2,…,)线性无关.反之，若向量组（=1,2,…,;=1,2,…,)线性无关，则和均线性无关.证令，=（）=，==，则有rank=，rank=.∵=，∴()==.又∵是×矩阵，∴是列满秩矩阵，即的列向量组是线性无关的.反之，若列向量组是线性无关的，则是列满秩的，∴rank()==rankrank.下证rank=，rank=.
6、假设rank＜，则rank必＞，矛盾.∴有rank=.同理，得：rank=.即、为列满秩的矩阵.∴和是线性无关的.性质2.13设为阶矩阵，为阶矩阵，则有相似于.三、矩阵的Kronecker积的特征值考虑由变量、组成的复系数多项式和阶矩阵其中，为阶矩阵，为阶矩阵.例3.1设,把写成：=,于是，.特别地，若=,则有.定理3.1设是阶矩阵的特征值，为的对应于的特征向量；是阶矩阵的特征值，是的对应于的特征向量，则个数2,…,为的特征值，是对应于的特征向量.证由知：.∴====.推论3.1的特征值是个值,对应的特征向量是.推论3.2的特征值是，其对应的特征向量是.推论3.3(推论
7、3.2的推广)的特征值为，其对应的特征向量为.类似的，的特征值为，其对应的特征向量为.注意：对矩阵，我们将其称为矩阵和的Kronecker和（或称为直和），记作.性质3.1设为阶矩阵，特征值为；为阶矩阵，特征值为，则.证一由推论3.1知：=.证二由性质2.4知：，且，又由性质2.13知：相似于，即，∴.性质3.2设为阶矩阵，特征值为；为阶矩阵，特征值，则trtrtr.证∵tr=trtr.对于矩阵的Kronecker积也存在幂的定义.定义3.1记，称为Kronecker积的幂.设=，=，则.四、矩阵的Kronecker积的应用定义4.1设=
