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1、从数学中的有限量来认识无限量的计算摘要:极限概念反映了物质世界中量变转化为质变的客观规律，也就是说,极限在一定的条件下，可以做有限与无限的重要桥梁，将对立着的有限与无限统一起来，从而达到计算无限量大小的目的。利用这一规律，可使数学中的很多问题得以解决，不断加深对这一规律的认识和应用,在今后的数学发展中，将仍有助于许多问题的解决。Abstract:Theconceptoflimitedreflectstheobjectivelawthatquantitychangesintotransmutaion.Und
2、ercertainconditions,limitisabridgebetweenlimitedandunlimited,Itcanunifythelimitedandunlimitedtocalculatetheunlimited・Therulecansolvealotofmathematicalproblems・关键词:有限量;无限量;计算Keywords:limited;unlimited;calculating中图分类号：01-0文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)10-0128
3、-020引言物质、时间、空间…从量的方面来说，都是有限与无限的对立和统一。任何事物，在其运动、变化、发展的历程中,经历的时间是有限的，占据的空间是有限的,具有的质量也是有限的，但从整个物质世界来看，正是这一切的有限组成了宇宙演化的长河与无尽的广延。深入于物质结构看,任何一个有限物体可分解为分子，原子与基本粒子等一系列无限的层次。《庄子，天下篇》记载着“辩者”的这样一种说法:“一尺之極，日取一半,万世不竭”。从纯粹的量的方面分析，“一尺之極”这样一个有限量，通过一次又一次的对分,可展示为一个无穷数列:〃，…
4、，但它的总和是一个有限数:1。任何特定的有限均可被超越而表现为在时间上，空间上,运动上的无限性。而现实世界中的有限和无限仮映到人们的头脑中，经过思维，便构成了数学中量的有限和无限。如果能够计算无限量的大小，便可使我们所研究的问题进一步扩大和深入。无限并不神秘，人们在实践中历来是从有限来认识无限的。例如，人们对无理数无限性的认识，就是从有理数开始的。圆周率，可用有理数来表示它的时候，便是一个无限序列31,3.14,3.141,3.1415…,一旦使无限转化为有限的确定的数兀时，便是一个实实在在的无限不循环的
5、小数。一条线段，其长度是有限的,但是它可以延长为更长的线段，当延长的次数和长度不做限定时，便可从有限长的线段的概念，发展成无限长的直线的概念。人们通过有限可以发现无限。同时，无限量的确是以有限量的对立面而存在,有限和无限有着质的差异。恩格斯指出:“只要数学谈到无限大和无限小，它就导入一个质的差异,这个差异甚至表现为不可克服的质的对立:量的相互差别太大了，甚至它们之间每一种合理关系，每一种比较都失败了…”。也就是说,在有限量和有限量之间的合理关系以及各种比较方面的性质，对于无限大和无限小来说，都不能无条件的
6、应用了。例如，同数相减剩余为0,但8-8就不等于0了;又如,0乘任何数都等于0,但0•；8是不定型。再如，在微积分里，有一个典型的基本算法,就是把无穷多项加起来，叫做无穷级数。无穷多项相加与有限项相加有本质上的区别。有限项相加，总有确定的"和”;而无穷多项相加，是加不完的，如果简单的将有限项相加的运算规则照例搬到无穷级数之中,有时就会得出一些错误的结论。女口：s二+++•••=!-(-)-(-)-•=1其实'第三步是不允许的，实际上S=。可这样考虑:+++••=由于un==(-)因此：sn=l-
7、+-+-+・・+=1-所以s=Sn=l-=也就是说,无限量的计算，不能简单照搬有限量的运算法则。但是有限和无限的差异并非构成不可超越的鸿沟，相反，两者在一定条件下是可以相互转化的。也正是这种转化成为数学中解决无限量计算的有力手段和方法。其实这种方法在初等数学中已经涉及到。数学归纳法就是利用这种方法使得一个无限量的等式得以证明解决。例如，我们要验证公式l+2+3+-+n=对所有的自然数成立。按道理说我们应从1开始对所有自然数逐个加以检验，但谁都知道这是办不到的事。利用数学归纳法，根据自然数可以从1开始顺序地
8、数下去，总可以数到任意事先给定的自然数这一性质，而把无限的检验过程归纳为有限的两步:一，证明公式对成立，二，在假设公式对n=k也成立的前提下，证明公式对zk+l也成立。全部问题的关键在于引入了一个相对固定的数kok是固定的，否则不能保证公式对一切自然数成立，但k在步骤二中又是相对固定的，否则我们无法进行推理。根据这种“把对无限个数进行检验,转化为对相对固定的有限个数进行检验”的思想，可使证明问题得以解决。在微分学中，求解函数在
