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1、第20卷第5期大学数学Vol.20,№.52004年10月COLLEGEMATHEMATICSOct.2004概率论中有关计算公式的改进宁荣健(合肥工业大学理学院,合肥230009)[摘要]通过对概率论中有关公式的研究,给出了全条件概率公式和二维随机变量函数的密度函数的简化计算公式,为其计算提供了新的方法.[关键词]全条件概率公式;二维随机变量函数;连续型随机变量;密度函数[中图分类号]O21111;O21115[文献标识码]C[文章编号]167221454(2004)05200702041引言
2、在概率论课程的教学与科研过程中,发现有许多内容可以进一步深化与挖掘,从而得到更广泛、更简捷、更实用的结论,以丰富和完善概率论的理论体系.本文就以下两个问题进行讨论.一、全条件概率公式.利用全概率公式来计算条件概率,此公式为计算条件概率提供了新的思路、新的方法.二、计算二维随机变量函数U=g(X,Y)的概率密度fU(u)方法的研究,通常我们采用分布函数法先求出U的分布函数FU(u),然后对其求导得到fU(u),其过程冗长,步骤繁琐,这里我们将给出一个直观、简捷、方便的计算方法.2全条件概率公式设S
3、为样本空间,A1,A2,⋯,An为S的一个划分,即A1,A2,⋯,An为一个完备事件组,它满足(i)AiAj=Á,i,j=1,2,⋯,n,i≠j;(ii)A1∪A2∪⋯∪An=S.设B,C为两个事件,根据加法公式,有nP(BC)=∑P(AiBC).i=1当P(C)>0,P(AiC)>0(i=1,2,⋯,n)时,对任意i=1,2,⋯,n.P(AiBC)=P(AiC)P(BûAiC)=P(C)P(AiûC)P(BûAiC),所以nP(BC)=P(C)∑P(AiûC)P(BûAiC),i=1nP(BC
4、)P(BûC)==∑P(AiûC)P(BûAiC).P(C)i=1定理1设A1,A2,⋯,An为样本空间S的一个划分,B,C为两个事件,当P(C)>0,P(AiC)>0(i=1,2,⋯,n)时,有[收稿日期]2003210229第5期宁荣健:概率论中有关计算公式的改进71nP(BûC)=∑P(AiûC)P(BûAiC).(1)i=1特别当C分别与A1,A2,⋯,An独立时,nP(BûC)=∑P(Ai)P(BûAiC).i=1我们称公式(1)为全条件概率公式.例1假设有两箱相同零件,第一箱内装50
5、件,其中10件一等品;第二箱内装30件,其中18件一等品.现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取两个零件(取出的零件均不放回),试求:(i)先取出的零件是一等品的概率p1;(ii)在先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍是一等品的条件概率p2.(本题为1987年数学四、五研究生入学考试试题)解设Hi表示挑出第i箱,i=1,2,Ai表示第i次取出的零件是一等品,i=1,2,则有113P(H1)=P(H2)=,P(A1ûH1)=,P(A1ûH2)=.255(i)由全概率公式,p1=
6、P(A1)=P(H1)P(A1ûH1)+P(H2)P(A1ûH2)11132=õ+õ=.25255(ii)由于11õP(A1H1)P(H1)P(A1ûH1)2513P(H1ûA1)====,P(H2ûA1)=.P(A1)P(A1)2445917P(A2ûA1H1)=,P(A2ûA1H2)=.4929由全条件概率公式(1),p2=P(A2ûA1)=P(H1ûA1)P(A2ûA1H1)+P(H2ûA1)P(A2ûA1H2)19317=×+×≈0148557.4494293二维随机变量函数概率密度算法
7、的研究设(X,Y)为二维连续型随机变量,其密度函数为f(x,y),U=g(X,Y)为(X,Y)的函数,求U的密度函数fU(u).通常我们采用分布函数法先求出U的分布函数FU(u)=P{U≤u}=P{g(X,Y)≤u}=kf(x,y)dxdy,g(x,y)≤u然后对FU(u)求导,即得U的密度函数fU(u)=FU′(u).该方法计算量大,过程较为繁琐,并且经常对变量u进行分段讨论方求出FU(u),求解时要求思路清晰、概念清楚、计算准确,否则难于得到正确的结果.下面介绍一种简单、方便的计算方法.为计
8、算起见,设g(x,y)的偏导数gx′(x,y),gy′(x,y)存在,且gY′(x,y)≠0.作二元变换U=g(X,Y),(2)V=X,其Jacobi行列式为5(u,v)gx′gy′J===-gy′≠0,5(x,y)1072大学数学第20卷所以变换(2)存在逆变换Y=h(U,V),(3)X=V,并且5(x,y)01111==-hu′==-,hu′=.5(u,v)hu′hv′Jgy′gy′进而得(U,V)的密度函数为fUV(u,v)=f(v,h(u,v))ûhu′û,则(U,V)关于U的边缘密度为
