振动的基本理论

《振动的基本理论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第1章振动的基本理论周期运动的最简单形式是简谐振动。这种振动的表示方法及特点是描述其它振动形式的基础。一般的周期振动可以借助傅里叶级数表示成一系列简谐振动的叠加，该过程称为谐波分析。非周期振动则需要通过傅里叶积分作谐波分析。1.1振动激励函数在振动理论中，首先遇到的是振动中的激励函数，由于振动激励函数种类繁多，下面只就常见的几种振动激励函数进行简单介绍。1.1.1连续函数与离散函数在连续时间范围内（－∞＜t＜∞﹞有定义的函数称为连续时间函数，简称连续函数。仅在一些离散的瞬间有定义的函数称为离散时间函数

2、，简称离散函数。这里“离散”是指函数的定义域—时间（或其它量）是离散的，它只取某些固定的值。1.1.2周期函数周期函数是定义在（－∞，∞）区间，每隔一定时间T（或整数N），按相同规律重复变化的函数。连续周期函数可表示为f(t)=f(t+mT),m=0,±1,±2,…(1-1)离散周期函数可表示为f(k)=f(k+mT),m=0,±1,±2,…(1-2)k为离散值。1.1.3实函数与复函数物理可实现的函数常常是时间t（或k）的函数（或序列），其在各时刻的函数（或序列）值为实数，称为实函数。函数（或序列）

3、值为复数的函数称为复函数。最常用的是复指数函数。连续时间的复指数函数可表示为stf(t)=e，－∞＜t＜∞(1-3)式中复变量s=s+jw，s是s的实部，记作Re[s],w是s的虚部，记作Im[s]。根据欧拉公式，上式可展开为(s+jw)tststf(t)=e=ecos(wt)+jesin(wt)可见，一个复指数函数可分解为实、虚两部分，即stRe[f(t)]=ecoswt3PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversionwww.pdffactory.comstIm[f(

4、t)]=esinwt两者均为实函数。1.1.4冲激函数与阶跃函数1.冲激函数冲激函数也称单位脉冲(unitimpulse)函数，用d(t)表示，它具有以下性质ì0,t¹0ïδ(t)=í¥(1-4)ïî大于任何给定值,当t=0时;但有ò-¥d(t)dt=1t并且d(t)=ò-¥d¢(x)dx单位脉冲是一种极限脉冲，其物理意义可用图1-1来解释。该图说明，若将d(t)看成是力函数，则d(t)是图(a)所示冲量为1的矩形脉冲在脉宽e→0时的冲击力的极限情况（图(b)）。d(t)具有力的量纲。图1-1单位脉冲

5、的物理解释图1-2延时单位脉冲函数工程应用中还定义了一种延时单位脉冲d(t-t¢)，其定义为ì0,当t¹t¢时ïδ(t-t¢)=í¥(1-5)ï大于任何指定值,当t=t¢时;但有òδ(t-t¢)dt=1î-¥延时单位脉冲函数如图1-2所示。单位脉冲函数又称Diracdelta函数或简称Dirac函数。Dirac函数有以下特性：¥¥（1）òpδ(t)dt=pòδ(t)dt=p,p为常数时；-¥-¥¥¥¥-jwt-jw0（2）它的傅里叶变换：F[d(t)]=ò-¥δ(t)edt=ò-¥δ(t)edt=ò-

6、¥δ(t)dt=1；这一特性表明，单位脉冲激振力提供白谱；¥¥（3）òy(t)δ(t-t¢)dt=y(t¢),0

7、6）ï2î1,tñ0单位阶跃函数有以下特性：¥¥（1）òe(t)y(t)dt=òy(t)dt-¥0¥¥¥（2）ò-¥e¢(t)y(t)dt=-ò-¥e(t)y¢(t)dt=-ò0y¢(t)dt=y(0)（1-7）tì0,tá0（3）ò-¥e(x)dx=ít,tñ0î3.冲激函数与阶跃函数的关系冲激函数与阶跃函数的关系为de(t)td(t)=，e(t)=ò-¥d(x)dx（1-8）dt1.2简谐振动1.2.1简谐振动的表示法1.用正弦函数表示简谐振动用时间t的正弦（或余弦）函数表示的简谐振动。其一般表达

8、式为x=Asin(wt+a)（1-9）式中A、a、w分别称为振幅、初相位和圆频率，它们是表征简谐振动的三要素。一次振动循环所需的时间T称为周期；单位时间内振动循环的次数f称为频率。它们与圆频率的关系为12π1wT==,f==（1-10）fwT2π其中，周期T的单位为秒（s），频率f的单位为赫兹（Hz），圆频率w的单位为弧度/秒（rad/s）。图1-3描述了式（1-9）所示的运动，它可看成是该图中左边半径为A的圆上一点沿圆周作等角速度w的运动时在x轴上的投