应用随机过程8-随机积分new

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1、第8章随机积分—Ito积8.1关于随机游动的积分8.2关于布朗运动的积分8.3Ito积分过程8.4Ito公式8.5Black-Scholes模2010-8-1理学院施三支8.1关于随机游动的积分1设X,X,…是独立的随机变量，P{X}1P{X}112ii2(公平赌博)。令Sn表示相应的游动，SnX1X2Xn。令F(X,X,,X)n12n令B表示F可测的随机变量序列(第n次赌注)，则第n次收益为nn-1nnnZnBiXiBi(SiSi1)BiSii1i11i这里S=0，

2、称Z为B关于S的积分。0nnn2010-8-1理学院施三支注：易证Zn是关于Fn的鞅，即E[Znm

3、Fn]Zn，且EZn02若假定EB，则nn22Var(Zn)EZnEBii12010-8-1理学院施三支8.2关于Brown运动的积分设B(t)为一个标准Brown运动。考虑一个简单过程X(t)：设0ttttT为,0[T]的一个分割，存在01n1n常数c,c,,c，使得01n1c,若t00X(t)c,若ttt,i,1,0,n1iii1或nX(t)c0I0(t

4、)ciI(ti,ti1](t)i1定义一个关于Brown运动的积分：nTX(t)dB(t)ci(B(ti1)B(ti))(1)0i12010-8-1理学院施三支nTX(t)dB(t)ci(B(ti1)B(ti))(1)0i1公式左边是一个Gauss分布的随机变量，均值为0，方差为nT2Var(X(t)dB(t))ci(ti1ti)0i1下面推广到较一般的情形：2010-8-1理学院施三支一、简单过程Ito积分的定义定义8.2.1设{X(t),0tT}为一个简单随机过程，

5、即存在,0[T]的一个分割0ttttT，随机变01n1n量,,,，使得是常数，依赖于B(t),tt但不依01n10ii赖于B(t),tt,i,1,0,n1，并且inX(t)0I0(t)iI(ti,ti1](t)i1定义nTX(t)dB(t)i(B(ti1)B(ti))(2)0i1T称之为X(t)关于B(t)的Ito积分，简记为XdB，02010-8-1理学院施三支二、简单过程Ito积分的性质性质8.2.1（1）线性若X(t)，Y(t)是简单过程，则

6、TTT(X(t)Y(t))dB(t)X(t)dB(t)Y(t)dB(t)000这里,是常数。T（2）It)(dBt)(B(b)B(a)[a,b]0其中I(t)是区间[a,b],0[T]的示性函数。[a,b]2010-8-1理学院施三支性质8.2.1（3）零均值性如果2(,1,0,)1Ein，则iTE[X(t)dB(t)]00（4）等距性如果2(,1,0,)1Ein，则i2TT2EX(t)dB(t)EX(t)td00下面将Ito积分推广到更一

7、般的情形：2010-8-1理学院施三支三、可测适应过程Ito积分的定义设X是r.v.列，F是-代数流，如果对任何x，nn{Xx}F，则称Xn关于Fn可测。nn定义8.2.2（适应的）设{X(t),t}0是随机过程，{F,t}0是-代数流，t如果对任何t，X(t)是F可测的，则称X(t)关于Ft适应的。t记{h:h是定义在,0[T]上的可测适应过程，T2满足E[h(s)sd]}02010-8-1理学院施三支{h:h是定义在,0[T]上的可测适应过程，T2满足E[h(s)sd]}0定义8.

8、2.3设f,0(T)，则f的Ito积分定义为TTft,()dBt,()limt,()dBt,()(3)00nn这里{}是初等随机过程列，使得当n时，nT2E[f(t)(t)]dt0(4)n02010-8-1理学院施三支例8.2.11设f是连续函数，考虑下面两种情况下的f(B(t))dB(t)0的二阶矩是否存在。2t(1).f(t)t(2).ft)(e注：将改为如下更广泛的形式*{h:h是定义在,0[T]上的可测适应过程，T2满足h(s)sd,a.s.}0t*T

9、,0X，对任何tT，积分X(s)dB(s)是适定的01例8.2.2求积分JtdB(t)的均值和方差。01例8.2.3估计使得积分1(t)dB(t)适定的的值。02010-8-1理学院施三支8.3Ito积分过程t积分Y(t)X(s)dB(s)是一个随机过程。0*2定理8.3.1设X(t)，并且EX(s)ds，