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1、第27卷第4期力学进展Vol.27No.41997年11月25日ADVANCESINMECHANICSNov.25,1997自适应有限元方法及其工程应用郭书祥空军工程学院力学教研室,西安710038摘要自适应有限元方法是一种能通过自适应分析自动调整算法以改进求解过程的数值方法.它以常规有限元法为基础,以误差估计和自适应网格改进技术为核心,是一种效率高、可靠性高的计算方法.文中简要介绍并综述了自适应有限元方法的重要发展及应用情况.并对其发展前景作了概要的预测.关键词有限元方法(FEM),误差估计,自适应改进,最优离散化1
2、引言60年代初期,有限元方法随着计算机技术的快速发展而诞生.并逐步发展成为工程中应用最为广泛的数值方法.FEM和其它任何近似数值方法一样,都存在算法的可靠性和有效性问题.有限元分析结果的可靠性和分析效率的研究一直伴随着FEM的发展.有限元分析结果的误差可能来自分析过程的各环节.其中一个主要的误差来源是模型的离散化.有限元网格剖分的质量对分析结果的精度有着决定性影响.在早期的常规有限元分析中,分析者通常根据经验、直觉甚至猜测进行网格剖分.然后凭直观或简单判断近似结果是否合理.如果不合理,则需重新进行网格设计.其分析效率和可靠性都较低,而基
3、于有效误差估计的自适应FEM是由计算机根据得到的误差信息决定解是否有足够的精度.若误差过大,计算机可进一步自动地进行满足精度要求的网格改进.因此,原则上只需定义一种描述问题几何特性的初始网格及可接受的误差水平,计算机可自动产生能实现这一有效水平的网格.显著提高了分析效率和结果的可靠性.[1]自适应FEM最早始于70年代初期.Oliverira等于1971年通过极小化能量利用最优结点分布讨论了网格的优化问题.所提出的网格重分布方法成为移动结点法的基础.之后于70年代中期,Oliverira进一步创造性地提出在应变能密度变化最大的区域加密网格
4、或[2,3]增设插值函数的高阶自由度.开创了最优离散化的研究.70年代后期,Peano提出用[6]叠层细分构造混合阶插值,给出了非常有用的叠层p型单元族.80年代,Szabo成功地[7,8]将叠层单元法用于离散网格的设计.Zienkiewicz等在此基础上利用简单的h-加密和在[9,10]整个区域均匀增加p,通过实例研究了h-和p-组合法的精度和有效性问题.Oden等也进一步研究了p-改进和h-加密的组合方法.旨在以最少的参数达到所需的精度.479有限元离散误差的估计是评估分析精度的依据,也是进行自适应改进的基础,许多学者作了大量而广
5、泛的研究,提出了很多不同的估计方法.早期的前误差估计基于对解的特性的认识,提供当自由度趋于无限时收敛的有关信息.但通常不提供解的实际误差.所以,人们更感兴趣的是后误差估计.后误差估计技术最早出现于60年代末期.70[11]年代,Turcke等通过极小化总势能和极大化应变能建立了评估离散误差的基本框架.[13]Babuska等针对线性椭圆问题提出了一种数学上严格的基于残值的误差估计技术,给出[14,15]了误差的界限,并用局部误差指标定义了最优网格.80年代以后,Zienkiewicz等人在误差估计方面作了大量富有成效的工作.他们提
6、出通过局部应力场的结点插值或最小二乘拟合求取非连续有限元应力场的平滑应力,并由能量范数度量的两应力场间的差值表示离[16]散误差.Ainosworth等曾证明了此法的有效性.这一有效方法已被人们所广泛采用.近[17]年来,Choudhardy等将此法推广用于多种材料的组合结构的位移有限元误差估计,使[5,9,10,19]得此法的适用性更加广泛.此外,Oden等人在h-p法的误差估计和自适应性方面作了大量工作,成功地将其用于各类问题的分析.80年代以后,自适应FEM方面的研究成果很多,发展极为迅速.2有限元分析中的自适应方法自适应性一般定
7、义为,按现时条件检查后为满足确定需要的调整过程.自适应FEM是一种能自动调整算法以改进求解过程的数值方法.包括多种技术.其中主要的有:误差估计、自适应网格改进、非线性问题中载荷增量的自适应选取及瞬态问题中时间步长的自适应调整等.目前,应用中的自适应FEM包括以下几类:(1)h-加密(h-enrichment):此法是不改变插值函数的阶次,仅基于局部网格加密,提高求解的精度.其代表为分级剖分法(HR).此法概念上简单、直观.且易于程序实现.(2)p-改进(p-refinement):不改变网格大小部局,仅增加局部插值函数的阶次.以[4,5,
8、18]降低求解误差,其代表为叠层单元(hierarchicalelement)法.此法中形函数是采用叠层形式分层叠加的.当增加高阶形函数时,其低阶项不作修改.因而可避免重新形成刚阵.可方便地在
