平稳随机过程-song-9-15new

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1、平稳随机过程平稳过程的概念与性质统计特性不随时间的推移而改变的随机过程。平稳过程的各态历经性联合平稳过程热噪声湍流影响导致的飞行器波动纺纱横截面积的变化平稳过程的概念与性质1、严平稳过程定义1设随机过程{X(t),tT}，若对任意n，任意t1，t2,,tnTt1t2tn当t，t，„，tT时，有12nF(t,t,,t；x,x,,x)12n12nP{X(t）x,X(t)x,,X(t)x)}1122nnP{X(t）x,X(t)x,,X(t)x)}1122nnF(t,t,,t；x,x,,x

2、)12n12n则X(t)称为严平稳过程。Home2、严平稳过程的特点若严平稳过程存在二阶矩，则（1）均值函数为常数：m(t)E[X(t)]m（2）相关函数仅是时间差t1t2的函数：记证只对连续型的情况m(t)E[X(t)]xf(t；x)dxxft(,)xdxmtmHomeR(t,t)E[X(t)X(t)]1212xxf(t,t；x,x)dxdx12121212xxft12(1,t2；xxdxdx1,2)12Rt1,t2:Rt(t)3、宽平稳过程21

3、定义2设随机过程{X(t)，tT}，如果它满足：（1）X(t)是二阶矩过程；（2）均值函数为常数，即m(t)E[X(t)]m（3）相关函数R(t,t)仅依赖tt，即1212R(t,t)E[X(t)X(t)]B()1212则称X(t)为宽平稳过程，简称平稳过程Home当T为整数集或{nt，n=0,1,2,„}时则称X(t)为平稳时间序列注1严平稳过程不一定是宽平稳过程。因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。注2宽平稳过程也不一定是严平稳过程。因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其

4、有穷维分布不随时间而推移。注3利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程的平稳性。因为均值函数m(t)m协方差函数Ct(,)cov[(tXt),()]XtE{[X(t)m(t)][X(t)m(t)]}2E{[X(t)X(t)]mE[X(t)]mE[X(t)]m22Rt(,)tmB()mC()即表示协方差函数仅依赖于，而与t无关，与相关函数相同。Home平稳过程自相关函数性质1R(0)EXt[2()]0X2RR()()XX3RR(0)()XX4平稳过程X(t)的任一样本和任意的t都有x（

5、t＋T）＝x(t),则称之为周期性平稳性过程则其自相关函数也具有周期性RT()R()XX平稳过程自相关函数性质5平稳过程的自相关函数矩阵是非负定的6时间间隔充分大时，实际非周期平稳过程的状态通常互相独立。4、遍历性要得出一个城市A、B两座公园哪一个更受欢迎，有两种办法。第一种办法是在某一个时点考察两个公园的人数，人数多的为更受欢迎公园；第二种办法，随机选择一名市民，在一年的时间里考察他去两个公园的次数，去得多的为更受欢迎公园。如果这个两个结果始终一致，则表现为遍历性。遍历性是指统计结果在时间和空间上的统一性，表现为时间均值等于空间均值4、遍历性平稳过程怎么用

6、试验来近似获得数学期望和相关函数呢？多次试验获得多个样本函数，用某固定时刻的试验平均值来得到相关估计值代价比较大有时很难得到多个样本函数能否利用一个样本函数来决定平稳随机过程的均值和自相关函数？即遍历性问题。定义1设{X(t),t}为随机过程，1TX(t)l.i.mX(t)dtT2TT称Xt()为沿整个时间数轴上的时间均值；1TX(t)X(t)l.i.mX(t)X(t)dtT2TT称Xt()()Xt为沿整个时间数轴上的时间相关函数定义2设X(t)是一个均方连续平稳过程，若Xt()EXt[()]mas,.X则

7、称X(t)的均值具有遍历性；若Xt()()XtEXt[()()]XtR(),.asX则称X(t)的自相关函数具有遍历性遍历性－>“以时间换如果X(t)均值、相关函数都具有遍历性空间”计算数字特征则称X(t)具有遍历性，或者说X(t)是遍历的遍历性一个样本函数近数学期望自相关函数有时似计算均值和相关函数也称空间平均均方连续[定义]设有二阶矩过程{X(t),tT}，若对某一个tT，有2limE[X(th)X(t)]0h0则称{X(t)}在t点均方连续，记作l.i.mX(th)X(t).h0若对T中所有点都