极限的多种求法

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1、极限的多种求法何向荣承德民族师专数学系067000摘要每项或每个因子极限存在才能适用。函数的极限是整个数学分析的有力的工具，利用重要极限和例3、求.对数学的发展产生了极大的推动作用，因此求极限时，往往要利用与其等价的变式求函数极限自然就成了学习数学分析的最根解：因2·23-22+1=13≠0，则本、最重要的问题。本文总结了求极限的若、，有时也需用三干方法，并通过例题加以说明。＝＝.角公式、变量代换、倒代换等方法对函数进关键词行变形，化成公式的标准形式，再利用重要极限;方法对于“”、“”、“∞-∞”极限公式来求极限。值得注意的是，能用重等情况，不能直接用运算法则，必须

2、用因要极限求极限的题，大部分也能用洛必达式分解、有理化分子或分母、三角函数有法则解决，选用什么方法视具体情况而定。关公式以及变量代换等方法，对函数进行例6、求恒等变形以约去零因子，使各项极限都存一、利用初等函数的连续性求极在再利用运算法则求极限。解：=限例4、求解：令1+2x=t4，则，由一切初等函数在其定义区间内连当x→0时，t→1.续，因此求初等函数在其定义区间内的点于是x处的极限，直接可用来表0示。=.例7、求.例1、求.解：解：由y=cosu,y=lnv的连续性，三、利用左右极限求极限=.＝＝cos(ln1)＝cos0=1.对于求分段函数在分段点处的极限例8

3、、求但当x→x时，函数f(x)在x点是间时，通常要分别讨论它的左右极限。当左00解：令lns-lna=t，显然x→a时，断的，不能直接代入数值计算，应根据具右极限存在且相等时，函数的极限等于这tt→0。解得x=ae，于是体函数的特性，对它进行适当地变形，设个值；当左右极限不等或至少有一个不存法消去分子、分母相同的无穷小量后，成在时，原极限不存在。为新的连续函数，再利用函数连续性求出t再令e-1=u，t→0时，u→0，解函数的极限。例5、求函数在分段点得t=ln(1+u)。例2、求x=1处的极限.因此，原式=解：解：对于无穷多项的和或无穷多个因子积，的极限，常用恒等变

4、形化为有限项的和或有限个因子积的极限。=.，例9、求极限.因为，故不存二、利用极限的运算法则求极限在。由于底是无穷多项和，因此要“裂项”将底化为有限项的形式，得不等式四、利用两个重要极限求极限“1”型，再利用重要极限公式来求。运用极限的运算法则求极限，条件是-327-基础及前沿研究中国科技信息2007年第18期CHINASCIENCEANDTECHNOLOGYINFORMATIONSep.2007α=-1不合题意，舍去。从而＝1。解：=.上例中使用的求极限的方法，只有在已知数列的极限存在的前提下才能使用，=否则可能导致很荒谬的结论。比如：令α例12、已知，=(-1)

5、n，有α=-α，从而α=-=.nn+1nn+1求α，得到α=0的错误结论。nn解：因为，所以五、利用无穷小与有界量的积为八、利用夹逼准则求极限无穷小的性质求极限，且.用夹逼准则求极限，关键在于视具体从而～，又当x→0时，利用有界量与无穷小的积为无穷小这问题选择灵活的方法对变量进行合理的缩x3-1～xln3，sinx～x，一性质求极限时，关键是合理选择谁是无放。穷小量谁是有界变量，并掌握一定量的缩放方法和技巧。所以原式=，例15、求，x≥0例10、求故解：当0≤x≤1时，有解：=2例13、求.，解：x→π时sinnx→0，sinmx当1＜x＜2时，有→0，但x不是无穷

6、小，因此sinmx与其中是有界量，mx不是等价无穷小，sinnx与nx也不是而等价无穷小。当2≤x＜∞时，有令x=π-t，则x→π时，t→0，故.sinmt～mt,sinnt～nt,故=根据夹逼准则，已知，则这样由于，所以，当x→+∞时，是无穷小。故.=..七、利用单调有界性准则求极限九、利用中值定理求极限六、利用等价无穷小代换求极限利用拉格朗日中值定理求极限，但适掌握一些常见的等价无穷小，利用等例14、证明应面较窄。价无穷小代换，可以对函数进行化简。作数列{x}有极限，并求。无穷小代换时，只能对无穷小是因式积的n例16、证明：先证.形式代换，无穷小是代数和的形式则

7、不能（1）n=1时,x1=2＞1,结论成立,解：对f(x)=arctanx在区间轻易作代换，必须化为因式积的形式。一些常见的等价无穷小：(2)设n=k时,xk＞1,当n=k+1时,上用拉格朗日中值定理，得当x→0时，sinx～x，tanx～x，,因此,;，arcsinx～x，arcanx～x，1-cosx～再证{x}单调减少。nxx。因为ζ=0，所以，ln(1+x)～x,α-1～xlnα，e-1～n由.有x，(1+x)μ-1～μx（μ∈R)等等。＜x，即{x}单调减少.+1nn例11、求.由以上两方面的证明，得数列{xn}是=单调减少且有下界，从而是有界的，解：