数理统计第4、5章讲义

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1、第四章随机变量的数字特征注：将ξ分解为若干个随机变量之和再处理，这种思路很常见。第一节随机变量的数学期望随机变量的函数的数学期望数学期望的定义、含义、性质以下设φ表示连续函数，并设有关的级数或积分都是绝对收敛的：æöxxxn¥¥12xpæöxxxn◆定义：①离散型：设ξ~ç÷，若åii绝对1.若ξ~12，则：Eφξ()=åφ()xp。èøpp12pni=1ç÷pppiièø12ni=1收敛，则称Eξ=xp+xxpp+++为ξ的数学期望。1122nn2.若已知二维离散型(ξ,)η

2、的联合分布表，怎样求Eφξ(,)η？+¥②连续型：设ξ的密度函数为fx()，如果òxf()xdx绝对只要根据(ξ,)η的联合分布表写出φξ(,)η的分布列即可。-¥+¥+¥收敛，则称Eξ=ò-¥xf()xdx为ξ的数学期望，或ξ的均值。3.若ξ为连续型随机变量，则：Eφ(ξφ)=ò(x)fξ()xdx。-¥◆含义：Eξ是ξ所取的大量个值的平均值的稳定中心。4.若(ξ,)η是二维连续型随机变量，联合密度函数为f(xy,)，◆性质：见课本P.133定理4.2及P.134推论4.1、推论4.2。则有：E

3、φ(ξ,ηφ)=(x,y)f(x,)ydxdy。òòR2例题：①计算几种常见分布的数学期望：见课本P.126—128。特例：Eξ=xf(x,)ydxdy，Eη=yf(x,)ydxdy。②若ξ~Gp()，则Eξ=1/p。③例题1、3、4、9、10、11。òòR2òòR2④若单项选择题有4个选项，选对得3分，不选得0分，选错例题：P.131例5，P.131例6，P.133例8，P.139第11题。扣x分，问x应满足何条件才能惩罚不会做且乱选答案者？中位数、p分位数、众数的概念：请自己阅读课本了解。例：

4、设ξ~B(np,)，求Eξ。第二节随机变量的方差解：设P()Ap=，则ξ是n次独立重复试验中A发生的次数。方差的定义及含义设ξi是个取值为0或1的随机变量，若第i次试验中A发生，设X是个随机变量，在实际中，我们经常关心EX的大小。则ξi=1，否则ξi=0。（in=1,2,,）显然Eξi=p，但我们也经常关心：X所取的大量个值的分散程度大小？ξ=ξξ+++ξ，Eξ=+EξEξ++=Eξnp。12n12n也就是：X所取的大量个值偏离EX的平均程度的大小？例：汽车载着20个乘客从起点开出，沿途有1

5、0个车站，每个2通过分析可以知道：若记Y=()X-EX，则EY的大小乘客在各个车站下车是等可能的，若某个车站没有乘客下车就可以反映X所取的大量个值偏离EX的平均程度的大小。不停车。以ξ表示停车次数，求Eξ。2定义：DX=E()X-EX，称为X的方差。也记为Var()X，解：设ξi是取值为0或1的随机变量，若第i个车站有人下车，2或sX。DX的大小反映了X所取的大量个值的分散程度大小。则ξi=1，否则ξi=0。（i=1,,10）显然ξξ=1++ξ10。20容易求出：Eξi=1-0.9，∴Eξ=E

6、ξ1++=Eξ10。概率统计讲义第18页例：设选手甲一枪击中的环数是X，乙一枪击中的环数是Y，第三节协方差与相关系数X~æö8910，Y~æö8910，比较两人的技术。协方差与相关系数的定义与性质ç÷ç÷èø0.30.10.6èø0.20.50.3cov(X,Y)定义：cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)，r=。XY解：不难求出EX=9.3，EY=9.1，故甲的平均成绩比乙好。DXDY但是，DX=0.81，DY=0.49，所以甲的发挥不如乙稳定。性质：①cov(X,Y)=cov(Y,

7、X)②cov(X,X)=DX方差的性质与计算③cov(X,c)=0④cov(aX,bY)=abcov(X,Y)a,,bc性质：①DX³0。称DX为X的均方差，或标准差，记为sX。⑤cov(X+Y，Z)=cov(X，Z)+cov(Y，Z)，为常数2②DC=0。（C为常数）③D()CX=CDX。④D()X±=CDX。cov(X，Y+Z)=cov(X，Y)+cov(X，Z)。⑤若X与Y独立，则D()X±Y=+DXDY。推论：若XX,,⑥cov(X,Y)=E(XY)-EX×EY。（通常用此公式计算协方差

8、）1n相互独立，则D()C±CX±±CX=C22DX++CDX。22011nn11nn⑦D(aX+bY)=aDX+bDY+2abcov(X，Y)。推论4.4？X-EX⑧r=r。⑨-1£r£1。（先证P.154定理4.8，再证⑨）⑥若Y=，则EY=0，DY=1。（此运算称X的标准化）XYYXXYDX例：(1)证明cov(X+Y,)X-Y=-DXDY。(2)设DX=25，⑦切比雪夫不等式：设EX及DX皆存在，则对于任意e>0，有：DY=36，r(XY,)=0.4，求D()XY±。(