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《数值分析上机实验报告(样例)_617906947》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数值分析第一次上机练习实验报告——Lagrange插值与三次样条插值一、问题的描述1i设fx()=,x∈−[1,1],取x=−+1,i=0,1,2,...,10.试求出10次Lagrange插2i19+x5值多项式L()x和三次样条插值函数Sx()(采用自然边界条件),并用图画出f()x,L()x,1010Sx().二、方法描述——Lagrange插值与三次样条插值i1我们取x=−+1,i=0,1,2,...,10，通过在x点的函数值fx()=来对原函数iii2519+xi进行插值，我们记插值函数为gx()，要求
2、它满足如下条件：1gx()()ii==fx2,i=0,1,2,...,10(1)19+xi我们在此处要分别通过Lagrange插值(即多项式插值)与三次样条插值的方法对原函数1fx()=进行插值，看两种方法的插值结果，并进行结果的比较。219+x10次的Lagrange插值多项式为：10Lx10()=∑ylxii()(2)i=0其中：1yfxii==()2,i=0,1,2,...,1019+xi以及(xx−−−−01)(...xxxxii−+)(1)...(xxn)lxi()==,i0,1,2,...,10()x
3、xxxxxii−−−−01...()i−+()ii1...()xxin我们根据(2)进行程序的编写，我们可以通过几个循环很容易实现函数的Lagrange插值。理论上我们根据区间[−1,1]上给出的节点做出的插值多项式L(x)近似于f()x，而多n项式L()x的次数n越高逼近f()x的精度就越好。但实际上并非如此，而是对任意的插值n节点，当n→+∞的时候L()x不一定收敛到f(x)；而是有时会在插值区间的两端点附近n会出现严重的L()x偏离f()x的现象，即所谓的Runge现象。因此用高次插值多项式nLn()x近似
4、f()x的效果并不总是好的，因而人们通常在选择插值方式的时候不用高次多项式插值，而用分段低次插值，而这样的插值效果往往是非常好的，能够克服高次多项式插值的弱点，达到令人满意的效果。分段低次插值包括分段线性插值、分段三次Hermite插值、三次样条插值等。前两种插值函数都具有一致收敛性，但是光滑性较差，而在实际问题中我们往往要求函数具有二阶光滑度，即有二阶连续导数。而对第三种插值方式，我们得到的是一个样条曲线，它是由分段三次曲线拼接而成，在连接点(即样点)上二阶导数连续。我们记三次样条插值函数为Sx()，它在每个小
5、区间⎡⎤xx,,j=0,1,2,...,9上是三次⎣⎦jj+1函数，因此在每个区间上需要确定4个参数，总共有10个小区间，因此共需确定40个未知参数。首先我们有插值条件：1Sx()jj==y2,j=0,1,2,...,10(3)19+xj其次在每个节点xj,=1,2,...,9上满足连续性条件：jSx()()jj−=00Sx+,Sx'(jj−=0)Sx'(+0),Sx''(jj−=0)()Sx''+0(4)此外在端点处满足自然边界条件：SxS''()01=''(−=1)0,Sx''(0)=S''1()=0(5)我
6、们假设SxMj''()==,0,1,2,...,10。则在每个小区间⎡⎤xx,,j=0,1,2,...,9上：jj⎣⎦jj+13322()xxjj+1−−()xx⎛⎞⎛Mjjhxxj++11−Mhxxjj⎞−jSxM()=++jjjM++11⎜⎟⎜⎜⎟⎜y−+yj−⎟⎟(6)666hhh6hjj⎝⎠⎝j⎠j其中：xxx∈=⎡⎤,,j0,1,2,...,9⎣⎦jj+1及hxx=−jjj+1我们利用边界条件(3)(4)(5)可以得到：μMMMdj++2λ==,1,2,...,9(7)jj−+11jjjj其中：hhjj
7、−1μλ==,jjhh+hh+jj−−11jj以及fxx⎡⎤,,−fxx⎡⎤⎣⎦jj+−11⎣⎦jjdf==66⎡x,x,x⎤jj⎣−+11jj⎦hh+jj−1两端点处的边界条件为：MM==0(8)010将边界条件写成矩阵形式为：⎛⎞2λ00⎛M⎞⎛d0⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟μλ2Md⎜⎟11⎜11⎟⎜⎟⎜⎟OOO⎜M⎟⎜M⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟(9)⎜⎟OOO⎜M⎟⎜M⎟⎜⎟μλ2⎜M⎟⎜d⎟9999⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟μ2⎜M⎟⎜d⎟⎝⎠10⎝10⎠⎝10⎠其中根据自然边界条件(8)有：λ=μ===0,dd0010010我们解
8、方程(9)就可以得到Mj,=0,1,...,10，将他们代入(6)就可以得到各段区间上的Sx()j的值。三、方案设计我们通过编写Matlab程序来进行10次Lagrange插值与三次样条插值的工作。在我们的程序文件中interplotion.m文件是主程序文件；L10.m文件是计算10次Lagrange插值多项式L10()x的子程序文件，给它任一个x∈−[1,1]，此程序
