01_handout_绪论

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1、..数学物理基础线性代数、变分法、常微分方程概论.....崔建伟华中科大物理学院Jian-WeiCuiMarch29,2013崔建伟(华中科大物理学院)数学物理基础March29,20131/27课程背景——什么是代数？粗略地说，代数起源于加法、乘法和求整数次方幂的计算艺术（算术）。如果用字母代替数（汉语翻译的由来），就能使我们能够在更广泛的系统中用类似的法则进行计算。算术和方程。——初等代数今天，代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。例如整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是一个代数结构。在其中我们只关心各种关系及其性质

2、，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。实际上，数学上重要的并不是对象，而是对象间的关系。例如几何可以看成是图形的代数，而代数也不外Jian-WeiCui是符号的几何。故此，代数被定义为对各种集合的元素施行代数运算的科学（有点语义重复，初学者可能莫名其妙）。而代数结构，即定义有代数运算的集合（例如：群、环、域、线性空间、代数等等），成为代数学研究的主体。——抽象代数（近世代数）崔建伟(华中科大物理学院)数学物理基础March29,20132/27数学的“代数化”和数学基础抽象代数的思想和方法已渗透到数学各个分支的理论和应用中，一定意义上

3、甚至可以谈论数学的“代数化”。这种抽象集合的思想可用来统一数学的不同分支，将数学主体建立在一个公共的基石上，类似几何原本建立起数学的公理化系统。数学的一种定义完全类似于代数的定义：数学就是研究集合上各种结构（关系）的科学（见：Bourbaki的《数学简史》）。现代数学的两大特点：抽象和统一。抽象意味着普适，只要符合定义，结论自然适用（不重对象而重结构）。统一意味着简洁，从一个公理化系统通过逻辑推导构建出整个体系。公理化也是追求数学严格性的产物（不重算术而重推理）。代数、几何、分析三大块都可归结为集合论之上（几何可解析化，Jian-WeiCu

4、i分析可算术化）。可以说，现代数学的主体就是建立在“集合论”的基础之上（数理逻辑是另一块基石，但可划作逻辑学）。而集合论自身矛盾（悖论）和数学基础的公理化研究（公理系统的三性质：自洽性、完备性、独立性），不仅推动了整个数学的进步，而且导致了哥德尔的不完备定理和图灵的可计算性理论（图灵机），这些是现代计算机和人工智能的基础。崔建伟(华中科大物理学院)数学物理基础March29,20133/27说明物理系的课程安排很难涉及数学基础的内容，但对（理论）物理工作者来说，有必要了解一些现代数学的整体概观。故课程开头将补充一点数学基础的知识。除分析之外

5、，纯代数和纯几何方法相继进入现代物理学。例如广义相对论、规范场论都大量用到群论和微分几何。不同于分析方法的塑性，代数方法为物理理论提供一定的刚性，使得理论必须如此（例如：牛顿引力vs广义相对论），这也是现代物理中“美”的来源之一。Jian-WeiCui以上内容不做要求。能听懂多少是多少，留个印象，以后学到时会自己串起来。崔建伟(华中科大物理学院)数学物理基础March29,20134/27一些资料（farfromafulllist）分析的算术化，从皮亚诺公理构造各种数系，以及实数理论可见：《分析基础》，EdmundLandau，高教出版社，

6、1958。《数学分析》第1卷第2章，卓里奇，高教，俄罗斯数学选译丛书。数学基础，从集合论构造数系，三次数学危机，可见：《数学基础》，莫绍揆，高教，1991。《第三次数学危机》，胡作玄，四川人民，1985。可计算性理论和图灵机，可见：《数学·计算·逻辑》，陆汝钤，湖南教育，1993。《皇帝新脑》第2、4章，彭罗斯，湖南科技，第一推动丛书系列。代数学一般理论和抽象代数基础，可见：Jian-WeiCui《代数学引论》，柯斯特利金，高教，俄罗斯数学选译丛书。《代数学引论》，聂灵沼，丁石孙，高教，2000。对现代物理要用到的数学感兴趣的同学，可参考：

7、《物理学中的几何方法》，余扬政，冯承天，高教，1998。《通向实在之路：宇宙法则的完全指南》，彭罗斯，湖南科技，2004。崔建伟(华中科大物理学院)数学物理基础March29,20135/27课程说明..1.本课程的内容：线性代数、变分法、常微分方程。核心内容+补充内容（课堂上分别说明）。..2.教学形式：投影+黑板，课后自学；（穿插一点Mathematica求解线性代数问题）；..3.关于证明：关键定理的证明需了解。有时最好的理解就是证明。..4.Jian-WeiCui最后成绩：0:8×考试成绩+0:2×平时成绩。崔建伟(华中科大物理学院

8、)数学物理基础March29,20136/27课程说明主要内容：线性代数。变分法和常微分方程视学时数讲授。什么是线性？简单说：一次方，成比例。课程中给出精确定义。为什么研究线性？