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1、第42卷 第2期厦门大学学报(自然科学版)Vol.42No.22003年3月JournalofXiamenUniversity(NaturalScience)Mar.2003文章编号:043820479(2003)0220150203局部对称空间上的闭测地线詹华税(厦门大学数学系,福建厦门361005)摘要:讨论了曲率定号的完备黎曼流形上的平行向量场与Jacobi场之间的关系;证明了紧致的偶数维具非负曲率的非单连通局部对称空间上存在无穷多条长度一样的闭测地线.关键词:平行向量场;Jacobi场;局部对称空间;闭测地线中图
2、分类号:O186.12文献标识码:AX→RγÛXγÛ(1)1平行向量场其中Tγ(t)M是切空间.若记γÛ(t)在Tγ(t)M之正⊥(t),则熟知有交补空间为γÛ设M为完备黎曼流形,则M上一测地线上的⊥(t)→γÛ⊥(t)(2)平行向量场与Jacobi场是两个不同的重要的概念,Rt:γÛ但当M是平坦流形时,它们是一致的.在文献[1,所以对固定的t,由对称矩阵标准型理论知,可选2]中得到取单位正交的Rt的特征向量e1,e2,⋯,en-1构成⊥(t)的一组基,λλλ命题1 设M是具非负曲率的完备黎曼流形,γÛ1,2,⋯,n-1
3、为相应之特征γ:(-∞,+∞)→M是无共轭点测地线的充要条值.件是γ上含γÛ的截面曲率为0.注意当t变化时,ei一般不是平行向量场.现n-1利用该命题,在文献[3]中得到⊥在PX∈γÛ(t),
4、X
5、=1,设X=∑ciei,则命题2 设M是具非负曲率的完备黎曼流形,i=1γ:(-∞,+∞)→M是无共轭点测地线的充要条K(γÛ∧X)=〈RγÛXγÛ,X〉=n-1n-1件是γ上的平行向量场为Jacobi场.∑cic〈jRγÛeγjÛ,ej〉=∑cic〈jRt(ei),ej〉=由上面事实促使我们去想平行向量场为Jacobii,j
6、=1i,j=1n-1n-1场这一特性应为流形的平坦性所特有.在文献[4,5]cc〈λe,e〉=c2λ=∑ijiij∑iii,j=1i,j=1中得到了部分结果.在本文中将首先全面解决此问n-12题,这就是∑ciK(γÛ∧ei)i,j=1定理1 设M为曲率定号的完备黎曼流形,n-12γ:(-∞,+∞)→M是一测地线,X是沿γ的平行注意到∑ci=1,从而有i=1向量场,若曲率K(γÛ∧X)=0,则X是Jacobi场.min{λi}≤K(γÛ∧X)≤max{λi}(3)1≤i≤n-11≤i≤n-1证明 设γ:(-∞,+∞)→M是
7、测地线,考所以若K(γÛ∧X)=0,则M具非负(非正)曲率,虑下面的自共轭算子则Rt:Tγ(t)M→Tγ(t)M,Pt∈(-∞,+∞)min{λi}=0(相应地max{λi}=0)1≤i≤n-11≤i≤n-1即0为Rt之特征值.又n-120=K(γÛ∧X)=∑cλii收稿日期:2002208230i,j=1作者简介:詹华税(1966-),男,教授,在职博士研究生.c2λ(由(3))ii=0,1≤i≤n-1,现在集美大学基础部任教.cλii=0,1≤i≤n-1第2期 詹华税:局部对称空间上的闭
8、测地线·151·n-1妨设M的最短闭测地线为Rt(X)=RγÛXγÛ(t)=∑ciRγÛeγÛ(t)=iγ:[a,b]→M,γ(0)=γ(b)=x.i=1n-1γ熟知平行移动同构P:TxM→TxM有行列式∑cλiiei(t)=0=0·Xi=11,由此可得(参见文献[11])存在单位向量e∈所以X(t)是特征值0的特征向量.由于X平行,γ(e)=e.记e沿γ平移所TxM,e⊥γÛ(x)使得P故得的向量场为E,令X¨+RγÛXγÛ=0γ(t,u)=γu(t)=expγ(t)(uE(t))即X是γ上的Jacobi场.5而对于一
9、般的X∈TγM,X沿γ平行,只要注T(γ(t,u))=dγ5t(t,u)意到5U(γ(t,u))=dγ(t,u)X=X⊥⊥5uγÛ+X,XγÛ‖γÛ,X⊥γÛ55简单分析亦有X¨+RγÛXγÛ=0,即X为Jacobi场.定[T,U]=dγ,=0(4)5t5u理1至此证毕.由于E为平行向量场,M具非负曲率,易知这个以γu(t)为参数的曲线族的弧长之第二变分为2闭测地线b2L″(0)=∫(
10、ÛE
11、-〈RγÛEγÛ,E〉)(t)dt=微分几何中一个古老而又十分重要的话题是是0b否每一紧致的流形都有无穷的闭测地线?YauST.-
12、∫〈RγÛEγÛ,E〉)(t)dt≤0(5)0[6]在其中著名的问题集中把它列为第81个问题.若L″(0)<0,则对每一充分小的u≠0,γu(t)是[7]Klingenberg广泛地研究了这个问题.在下面将利一条同伦于γ的闭曲线,且比γ有严格短的长度,用定理1来探讨局部对称空间的情况.这便与γ是最短闭测地线矛盾.因此
