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《数理方程引论chapter-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2章分离变量法（直角坐标）§2.1有界弦的自由振动§2.2有限长杆的热传导§2.3非齐次方程的解法§2.4非齐次边界条件的处理§2.5高维情形问题：1）什么是分离变量法？（思想、步骤）2）适用什么样问题？3）理论基础是什么？§2.1有界弦的自由振动2方程：⎧ua=ttxx⎪⎨utuLt(0,)==>(,)0,t0,⎪ux(,0)=ϕψ(),(,0)xux=≤(),0xxL≤.⎩t注：齐次方程齐次（第一类）边界条件未知函数考虑具有如下形式的解（ansatz）边界取值u(x,t)=X(x)T(t)（分离变量）代入方程2X′′(x)T′′(t)u=au⇒=tt
2、xx2X(x)aT(t)X′′(x)T′′t)(⇒=−λ=2X(x)aTt)(⎧X′′+λX=0⇒⎨2（λ为待定常数）⎩T′′+λaT=0边界条件⇒X)0(Tt)(=X(L)Tt)(=,0t>0⇒X)0(=X(L)=0⎧X′′+λX=0先解⎨（特征值问题）⎩X)0(=X(L)=0−λx−−λx讨论：（1）λ<0⇒X(x)=Ae+Be⇒A≡B≡0⇒u≡0矛盾！（2）λ=0⇒X(x)=Ax+B⇒A≡B≡0⇒u≡0矛盾！（3）λ>0⇒X(x)=Acosλx+Bsinλx⎧A=0⇒⎨⇒sinλL≡0⎩BsinλL=0nπ⇒λ=,n=,2,1"L2⎧⎛nπ⎞特征值⎪λn=⎜⎟⎪⎝L⎠⇒⎨n
3、=,2,1"⎪nπX(x)=Bsinx⎪nn特征函数⎩L2再解T′′+λaT=0naπnaπ⇒T(t)=Ecost+FsintnnnLL(n=,2,1")从而得到满足方程与边界条件的一族解⎡naπnaπ⎤nπu(xt),=Ccost+Dsintsinxn⎢nn⎥⎣LL⎦L(n=,2,1")命题（特殊初值）N⎡naπnaπ⎤nπu(x,t)=∑⎢Cncost+Dnsint⎥sinxn=1⎣LL⎦L是如下定解问题的解：2⎧u=au,0,0ttxx⎪⎪u,0(t)=u(L,t)=,0t>,0⎪⎪Nnπ⎨u(x)0,=∑Cnsinx,0≤x≤L,⎪n=1L⎪Nnaπnπ⎪u
4、t(x)0,=∑Dnsinx,0≤x≤L.⎪⎩n=1LL2例：求解⎧utt=auxx,0,0⎪⎪ut),0(=u(Lt),=,0t>,0⎪⎨3πu(x)0,=2sinx,0≤x≤L,⎪L⎪π5π⎪ut(x)0,=sinx−3sinx,0≤x≤L.⎩LL解：由上述命题及初始条件可知aπ5aπC3=,2D1=,1D5=−,3LL其余C,D都为0.nn从而得到Laπtπx3aπt3πxu(xt),=sinsin+2cossinaπLLLL3L5aπt5πx−sinsin.5aπLL问题：一般初始值ϕ,ψ如何处理？想法：将ϕ,ψ分别展成Fourier（正弦）级数，然后比较系
5、数.本质：沿特征函数展开22例：L=10,a=10000=100x(10−x)u(x)0,=ϕ(x)=,u(x)0,=ψ(x)≡.0t1000尝试：∞nxπFSSϕ(x)=∑Cnsinn=110其中210x(10−x)nπxC=sindxn∫100100010⎧,0neven2⎪=()1−cosnπ=⎨4335nπ⎪33,nodd⎩5nπ∞41得到u(xt),=∑cos102(n+)1πt335πn=0()2n+12(n+)1πx⋅sin.102然而u在点)0,0(处不C光滑.↑u)0,0(=−.0002,u)0,0(=0xxtt2注：上例中问题在[,0L]×[,0∞)上没有C光
6、滑解，原因在于：边界条件、初始条件以及偏微方程在处)0,0(不相容注：（1）叠加原理对无穷和不一定成立（2）上例中所求得的解仅为形式解（3）古典解、形式解与近似解约定：课程主要关注形式解的存在性！驻波（StandingWave）Fromen.wikipedia.org⎡naπnaπ⎤nπu(xt),=Ccost+Dsintsinxn⎢nn⎥⎣LL⎦L22()nπ=C+Dcosωt−θsinxnnnnL这里naπω=——角频率nLDnθ=arctan——初位相nCn§2.2有限长杆的热传导方程：⎧u=a2u,0,0txx⎪⎨u,0(t)=,0ux(L,t)+hu(L,
7、t)=,0t>,0⎪u(x)0,=ϕ(x),0≤x≤L.⎩这里h>0为给定常数（热交换常数）.注：齐次方程齐次（第三类）边界条件考虑具有如下形式的解u(x,t)=X(x)T(t)（分离变量）X′′(x)T′t)(代入方程⇒==−λ（λ为待定常数）2X(x)aTt)(边界条件⇒X)0(=,0X′(L)+hX(L)=0⎧X′′+λX=0先解特征值问题⎨⎩X)0(=,0X′(L)+hX(L)=0讨论可知（练习）20<λ:=ββcosβL+hsinβL=0β1⇒tanβL=−=−βLhh
