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1、第15卷第5期琼州学院学报2008年10月28日Vo.l15No.5JournalofQiongzhouUniversityOct.28.2008局部环上一类矩阵广义逆的偏序吴炎(琼州学院数学系,海南五指山572200)-1(r)摘要:设R是局部环,A=P(ID)PMn(R),其中D=diag{d1,,dn-r}或D=0,d1,,dn-r[3][2,3][3][2,3]M,.研究R上集合意义下广义逆的矩阵偏序A和A,确定了具有偏序A和A的矩阵[3][2,3]集Mn(BAB)和Mn(BAB)都不是
2、单点集.关键词:偏序;矩阵偏序关系;广义逆中图分类号:O153.1文献标识码:A文章编号:1008-6722(2008)05-0005-041预备知识1934年德国数学家Lorder研究并提出Lorder序.这种偏序得到了广泛研究并在统计中得到了很好的应[1]用.之后矩阵与半群的偏序概念以及结合环中的*序等概念,也相继被提出并在国内外得到了深入研[2][1][1]究.这里将继续研究文提出的集合意义下的关于广义逆的矩阵偏序,把文中的定义及结果推广到局*部环R上.这里规定R是一个局部环,用M表示R的唯一极大理想,用R=
3、R-M表示R中可逆元素构成**的乘法群.易见若tR,aR,m,bM,则有a!mR,b!m,tmM.定义1.1设AMn(R),给出关于矩阵XMn(R)的方程AXA=A(1)XAX=X(2)AX=XA(3)如果X满足第(i)(i=1,2,3)个方程,则称X为A的{i}-逆.若X满足方程(i)和(j)(i∀j;i,j=1,2,3),则称X为A的{i,j}-逆.用A{i}表示A的所有{i}-逆矩阵构成的集合,用A{i,j}表示A的所有{i,j}-逆矩阵(i∀j)构成的集合等等.[1]定义1.2设AMn(R),若有
4、矩阵BMn(R)满足AA{i}=BA{i},A{i}A=A{i}B(i=1,2,3),{i}则称A与B具有{i}-逆序,记作AB.[1]定义1.3设,若有矩阵BMn(R)满足{i,j}AA{i,j}=BA{i,j),A{i,j}A=A{i,j}B(i∀j),则称A与B具有{i,j}-逆序,记作AB.-1(r)令Wn(R)={X=PDPMn(R)
5、D=ID,PGLn(R)},~-1~(r)(n-r)W(R)={X=PDPMn(r)
6、D=I0,PGLn(R)};{i}Mn(BAB)={BMn(R)
7、A
8、A{i}=BA{i},A{I}A=A{i}B,AHN},{i,j)Mn(BAB)={BMn(R)
9、AA{i,j}=BA{i,j},A{i,j}A=A{i,j}B,AHn};其中D=diag{d1,d2,,dn-r,diM(i=1,,n-r),Hn=Wn(R)或Wn(R).收稿日期:2008-07-30作者简介:吴炎(1964-),男,海南乐东人,琼州学院数学系教授,从事典型群应用和矩阵论研究.基金项目:海南省教育厅高校科研资助项目(HjKj200733)6琼州学院学报(第15卷)2008(r)(r)显
10、然I0Wn(R)∀,I0Wn(R)∀.因此文[1]的结果就是Mn#m(BMn#m(R)A{1}{1,2}{1}{1,2}B)={A}和Mn#m(BMn#m(R)AB)={A},也即与A具有偏序关系AB和AB的矩阵B只有一个.本文将在Wn(R)(或Wn(R))的范围内,研究其中取定矩阵A与Mn(R)中那些矩阵B具有{3}{2,3}广义逆偏序关系,重要的是确定了Mn(BAB)和Mn(BAB)都不是单点集.由局部环的定义和基本性质容易证明命题1.1若设D=diag{d1,d2,,dn-r,di
11、M(i=1,,n-r).则有(∃)对于Q=(qij)Mn-r(R),若有QD=0(或DQ=0),则有qijM;(%)对于Q=(qij)Mn-r(R)以及V=(vij)Mn-r(R)(vijM),有In-r!QV,In-r!QD,In-r!DQGLn-r(R).利用引理1.1,并类似文[4]中定理4中(12)式和文[5]中定理4.4.7中(4.4.23)式的证明有引理1.2设AWn(R),则有-1(∃)A{3}={X=P(X11X22)PMn(R)
12、X11Mr(R),X22Mn-r(R)};其中X22
13、D=DX22.(n-r)-12(%)A{2,3}={X=P(X110)PMn(R)
14、X11Mr(R),X11=X11}.&2主要结果[3]-1定理2.1(∃)若设AWn(R),则有Mn(BAB)={B=P(B11B22)P},其中Bii及Xii,Yi,Zii(i=1,2)
