数理方程辅导new

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1、数理方程Yan-liTang南京邮电大学数理学院1/532/53矩阵意味


1010101男男男00001000女女女B生生生CB01000000CB生生生CBCBCBCB宿宿宿CB00100000CB宿宿宿CBCBCBCB舍舍舍CB00010000CB舍舍舍CBC=BCBCB女女女CB10000000CB男男男CBCBCBCB生生生CB00000100CB生生生CBCBCBC@莫莫莫A@00000010A@莫莫莫A入入入00000001入入入1此处的矩阵具有实对称性。3/53矩阵7!线性变换I定义：对定义在数域F上的线性空间V的线性变换A^满足：A^(x+

2、y)=A^x+A^y，其中;2F。I假定B=fe1;e2;:::;eng是V的一组标准基，由y=A^x可得2：[A^]B=[aij]=[(ei;A^ej)]yiei=A^(xjej)=xjA^ej)yi=(ei;A^ej)xj=aijxj内积I旋转操作R^：y=R^xe2x=(rcos;rsin)TR^xy=(rcos(+);rsin(+))T)xcossin[R^]B=e1sincos2爱因斯坦求和约定，即重复下标意味求和。4/53基变换3假定B=fe;e;:::;eg和B0=fe0;e0;:::;e0g分别是V的12n12n一组标

3、准基，则有：I坐标变换：XnXnXnXn0000x=xiei=xjej)xi=(ei;ej)xj=Pijxji=1j=1j=1j=1I矩阵的相似变换：[A^]B0=P[A^]BPT=P[A^]BP1Xn00000aij=(ei;A^ej)=(ek;ei)(ek;A^ej)k=1XnXn00=(ek;ei)(ek;A^el)(el;ej)k=1l=1XnXnXnXnT=PikaklPjl=PikaklPljk=1l=1k=1l=13注意：此处的推导是基于标准基。5/53表象变换4一个简单例子：010101210x1b1@121A@x2A=@b2A012x3

4、b3求解：1.将上述方程视为A^x=b在一组标准基B=fe1;e2;e3g下的坐标表示（初始表象）。2.求初始表象下A^的特征向量与特征值：A^e0=e0，并iii将B0=fe0;e0;e0g作为一组新的标准基(A^表象)，并给123出A^x=b在A^表象的坐标表示（注意正交规一化）。P3P3003.反演到初始表象：利用x=i=1xiei=i=1xiei。4即基变换6/53耦合振动123x1x2x3123I小球的运动方程：8

5、2x3(t)+f3(t)其中，xi代表第i个小球偏离其平衡位置的位移，fi代表第i个小球受到的外力，弹簧的弹性系数和小球的质量均为1。7/53I线性代数01010101x•1(t)210x1(t)f1(t)@x•2(t)A=@121A@x2(t)A+@f2(t)Ax•3(t)012x3(t)f3(t)求解：1.将上述方程视为x•(t)=A^x(t)+f(t)在一组标准基B=fe1;e2;e3g下的坐标表示（初始表象）。2.求初始表象下A^的特征向量与特征值：A^e0i=ie0i，并将B0=fe01;e02;e03g作为一组新的标准基(A^表象)，并给出x

6、•(t)=A^x(t)+f(t)在A^表象的坐标表示并求解（注意正交规一化）。P3P3003.反演到初始表象：利用x(t)=i=1xi(t)ei=i=1xi(t)ei。8/53温故而知新I微分方程：ay00(x)+by0(x)+cy(x)=0xy(x)=eI欧拉方程：x2y00(x)+xy0(x)n2y(x)=0my(x)=xIN阶常微分方程的解空间是N维的。9/53几个基本概念I向量的维数与空间的维数：x=y,xi=yi;i=1;:::;n离散指标f=g,f(x)=g(x);x2(a;b)连续指标I内积(
;
)：(x;y+z)=(x;y)+(x;

7、z)Xnb(x;y)=xiyi;(f;g)=f(x)g(x)dxi=1aI线性相关与正交：x=y;f=g(x;y)=0;(f;g)=0ppI模或范数：kxk=(x;x);kfk=(f;f)10/53三类（标量）场方程5I弦振动方程（位移场）：@2u(x;t)@2u(x;t)2=a+f(x;t)@t2@x2I泊松方程（电势场）：2ru(r;t)=f(r;t)I热传导方程（温度场）：@u(r;t)22=aru(r;t)+f(r;t)@t注意：线性P.D.E.、齐次性。5这里没考虑数学上的分类。11/531.定解问题：8><泛定方程(P.D.E.)定解问题=边界

8、条件(B.C.)>:初始