非线性有限元 第4章材科非线性有限元法

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1、第四章材科非线性有限元法本章所研究的非线性有限元方法是材料非线性有限元。它的非线性是由本构关系的非线性引起的。但它和线弹性有限元一样，都属于小变形问题，因而关于形函数的选取、应变矩阵、应力矩阵及劲度矩阵的形式都是相同的，不同的仅在劲度矩阵是按非线性弹性或弹塑性矩阵计算的，这是材料非线性有限元的基本内容。4.1非线性弹性有限元法4.1.1非线性弹性有限元法的基本公式对于小变形的非线性弹性问题，其基本方程为:T平衡微分方程Lσp0(3-8)几何方程εLf(3-2)物理方程σDε(3-19)s或dσDdε(3-20)T式中，D和D的表达式见（3

2、-37）~（3-40），它们是应变强度的函数。边界条件为sT位移边界条件：ff(3-4)ssu应力边界条件：n()p(3-9)ss虚功方程是TTTεσdvfpdvfpds(3-11)vvs可见，除表示为物理方程的本构关系外，其它基本方程与边界条件均与线弹性问题相同，而且虚功方程（3-11）不涉及材料性质，因而线弹性有限元的几何关系和由虚功方程得到的单元和整体平衡方程完全适用于非线性弹住和弹塑性问题，它们是efNδ(4-1)eεBδ(4-2)TeBdVR(4-3)vTTe(c)BσdVR(4-4)ve将

3、式（4-1）代入（3-2），式（3-2）代入（3-19），再将（3-19）代入（4-3），得eek()δR(4-5)s其中单元割线劲度矩阵k为s43Tk()BDBdV(4-6)ssv同样可由（4-4）得整体平衡方程K(δ)δR(4-7)s整体割线劲度矩阵eTeKs(δ)(c)ks()c(4-8)e由于K与位移有关，式（4-7）是一个非线性方程组。但实际求解时不用（4-7）式，s因为求解（4-7）要用直接迭代法，这一方法不但计算量大，且常常不收敛。在求解非线性方程组时，除直接迭代法要用割线劲度矩阵外，其它方法都要计算切线劲度矩阵。

4、为此，须对非线性弹性有限元的切线劲度矩阵进行研究。由式（4-4）得TTeψ(c)BσdVR(4-9)ve由上式及Newton法迭代公式（2-7）可得切线劲度矩阵ψeTTdσdεK(δ)(c)BdVTvδedεdδTTee(c)(BDBdV)c(4-10)vTe4.1.2求解的选代过程不同的非线性方程组求解方法，迭代过程中的一些具体处理方法也不相同，但对荷载的处理一般都分级按增量方法计算。1.荷载分级对于实际的工程问题来说，将荷载分级施加是相当重要的，首先，这样做可以模拟实际施工加载过程，进行所谓"仿真"的数值分析，这时弹塑

5、性问题显得更为重要，因为不同的加载过程将得到不同的位移和应力计算成果。其次，对荷载分级，容易使求解过程收敛。荷载的分级首先要考虑荷载的性质，不同类型的荷载要根据实际施工加载情况分级施加。为了更精细地模拟施工过程并使迭代过程收敛，每级荷载还可按§2.2介绍的荷载系数法分成更小的增量。图4-1为三峡永久船闸的闸室横剖面，为了分析闸室结构的应力状态和两侧边坡的稳定性，所施加的荷载按加载顺序有开挖荷载、衬砌自重、边坡内的渗压和闸室内的水压力。由于开挖荷载的计算需要事先了解地应力，在没有地应力量测值的情况下，还要首先计算自重应力。很明显，对于这个问题，开挖是

6、主要荷载，根据设计的开挖施工程序再将它分为若干级增量，其它荷载也可根据需要再分级，目的就是为了更精确地模拟加载过程和使求解过程收敛。图4-1442.增量迭代法增量迭代法实际上就是非线性方程组求解的Euler-Newton法，即将荷载分成若干级增量，对每一级荷载增量，进行迭代运算。对第m级荷载，迭代的基本公式是ii1ii1iδm(KT,m)(RmFm)(KT,m)(Rmψm)(2-46)i1iiδδδmmm式中R一一第m级荷载增量施加后的总荷载，mR——第m级荷载增量，miiF——第m级荷载第i次迭代结束时的结点力

7、，根据当时的单元应力按下式计mm算TTieiF(c)BσdV(4-11)mvmiψ——第m级荷载第i次迭代的不平衡力miiψFRmmm1i切线劲度矩阵K根据式（4-9）由下式求出T,mTTieieK(c)(BD(ε)BdV)c(4-12)T,mTmveii如果已知第m级荷载增量时第i次迭代的近似解δ，相应的应变ε为mmieiεBc(4-13)mmiii于是切线弹性矩阵D(ε)可以确定，由（4-12）和（4-11）分别计算(K)和F，最后TmTmmii利用式（2-46）求出δ，这个迭代过程由i=0开始直至δ足够小，达到一定

8、计算精度mm内为零时终止。假定最后一次迭代i=I，则该级荷载增贵的最终位移为Iiδmδm1δm(4-14)i0