样本量确定公式推导

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1、样本量确定公式的推导（教材123~124页）教材123页中间的“3、调查的可靠程度”中的P为统计学中的置信度或置信水平，如常用的0.95、0.99，也就是；这一段中的t就是t分布中的t值，类似于正态分布中的Z值。一、平均数的样本量公式（一）重复抽样：（6.2）推导过程：对于正态分布，当显著性为α时，置信区间可以写为：（1）式中：μ为总体平均数，为样本平均数，为标准正态分布的统计量，下面简写为Z，为样本平均数的抽样标准差，即标准误，下面简写为SE，于是上式简写为：（2）（3）式中，σ为总体标准差，n为样本大小。因为总体标准差σ通常是未知的，因此就用t分布代替标准正态分布，（3）

2、式就为：6（4）移项，得到：（5）令：，称为平均数的抽样极限误差（或抽样最大允许误差），于是（5）式为：（6）或者，（7）将（6）式两边平方，得到：（8）于是得到上述公式（6.2）（二）不重复抽样（6.3）推导过程：（9）式中，N为总体大小将（9）式代入（7）式，得到：（10）将（10）两边平方，得到6（11）去分母，得到：移项，得到：于是，得到上述（6.3）式。124页的例题：其中有些印刷错误，下面的是改正后的例题，其中涂黄色的为原来是印刷错误的。例如，某市进行居民家计调查，按照简单随机不重复抽样方式。已知N=100000，=10000，SE=5元，SE为抽样标准误，求t=

3、2时所需的样本量。解：根据上述公式（7），将有关已知条件代入（6.3）式，就得到书上结果，需要抽398户。当t=3时，若极限抽样误差不变，仍为10，这就意味着抽样标准误SE缩小为3.3元，（以下和书上一致了），即需要抽892户。6可见，在允许误差和其他条件不变的情况下，置信度由95.45%（t=2）提高到99.73%（t=3），需要增加的样本量为1.24倍。书上的95.45%和t=2，以及99.73%和t=3的对应关系是怎么得到的呢？根据该书后面的第454页的表3，t分布的临界值点，是无法得到该对应关系的，因为这是一个单侧检验表；根据453页的表2，正态分布表，也是无法得到的

4、，因为它也是单侧检验表。这需要从双侧检验表才能够得到，因为这个例题中n很大，此时t分布接近正态分布，就可以查双侧检验的正态分布表，例如张厚粲、徐建平的《现代心理与教育统计学》的第390页的附表1，查该表中的Z=2所对应的面积P为0.47725，因为从图中看出，这只是Z=2和Z=0之间的面积，由于对称性，在之间的面积为0.47725*2=95.45%；同理，查的表中Z=3所对应的面积P为0.49865，乘以2以后为99.73%。二、比例的样本量公式（一）重复抽样：（6.4）式中，为抽样比例，为比例的抽样极限误差。推导过程：类似于上述公式（2），得到：6（12）式中为总体比例，P

5、为样本比例，SE为标准误。对于不重复抽样，代入（12）式，得到（13）移项，得到（14）令，于是，上式为等式两边平方，得到，即得到（6.4）式。（二）不重复抽样：（6.5）推导过程：在不重复抽样情况下，（15）代入公式（12），得到6（16）移项，得到（17）令，再等式两边平方，得到：去分母，得到移项，得到于是，得到公式（6.5）。6