随机环境中的独立过程

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1、第40卷第2期中山大学学报(自然科学版)Vol140No122001年3月ACTASCIENTIARUMNATURALIUMUNIVERSITATISSUNYATSENIMar12001X随机环境中的独立过程李炜,戴永隆(中山大学数学系,广东广州510275)摘要:引进遍历性条件,利用分析方法研究了随机环境中独立随机过程,重点讨论马氏环境中的0-1分布、Poisson分布和一般离散分布.得到了这些分布的数学期望、方差,证明了它们均满足大数定理.关键词:随机环境;独立过程;马氏环境;马氏链中图分类号:O21116

2、2文献标识码:A文章编号:052926579(2001)0220019205[1]1记号与定义2马氏环境中的0-1分布设S为有限或可列集,称为状态空间;定理1独立环境中的独立过程仍是独立过ZZ+=(0,1,,),E=S+称为轨道空间,E是E中程,即对任意n和i0,i1,,,in有乘积拓扑产生的R代数.G为S上的全体概率分P(x0=i0,x1=i1,,,xn=in)=布,R是(E,E)上全体概率分布.R是R上的弱P(x0=i0)P(x1=i1),P(xn=in)拓扑(弱收敛)确定的R代数.Q是R上的概率测证明度,

3、(R,R,Q)为环境空间.8=R@E,F=R@P(x0=i0,x1=i1,,,xn=in)=E,对任意CIR,AIE,令QG(x0=i0,x1=i1,,,xn=in)Q(dG)=P(C@A)=QG(A)Q(dG)CG(x0=i0)G(x1=i1),G(xn=in)Q(dG)=视(8,F,P)为基本概率空间,对任意AIE,Q定义QG(x0=i0)Q(dG0)QG(x1=i1)Q(dG1),P(A)=P(R@A)=QG(A)Q(dG)RQG(xn=in)Q(dGn)=E,EQ,EG分别表示概率空间(8,F,P),(

4、R,R,P(x0=i0)P(x1=i1),P(xn=in)Q),(E,E,G)上数学期望,所以,E(#)=EQ(EG(#))由于独立环境中的独立过程仍是独立过程,与一般的独立过程相同,因此没有单独研究的必设xIE,以xn记x的坐标函数,则xn是(8,F,P)上随机过程,这个过程称为随机环境中取S要.设S={0,1},xIE,xn是x的坐标函数,值的随机过程.如果对任意n和i0,i1,,,in有则xn是(8,F,P)上随机过程,假定对每个GIG(x0=i0,x1=i1,,,xn=in)=R,xn是(E,E,G)上

5、的独立过程,这个过程称为G(x0=i0)G(x1=i1),G(xn=in)随机环境中的0-1分布,这当然是二项分布的a1e1Q-G推广.考虑环境空间,由于G中元素可以表示则称该取S值的随机过程为随机环境中的独立为(g(1),g(0)),g(1)+g(0)=1,因此当gIG过程.设GIR,令时,可令g(1)=r,则g(0)=1-r,从而G与[0,Gn(#)=G(xn=#)1]是一一对应的,于是就取G=[0,1],这时R=Z则以G作为变量,Gn是(R,R,Q)取值于G上的[0,1]+.如果环境空间(R,R,Q)上的

6、坐标过程随机过程,若该过程关于Q独立,则称为独立为马氏过程,则称为马氏环境.下面研究马氏环环境.境中的0-1分布,设其转移概率q(r,C).假定X基金项目:广东省自然科学基金资助项目(980287)收稿日期:2000204224;作者简介:李炜(1964-),男,博士研究生.20中山大学学报(自然科学版)第40卷定理3对任意自然数m有:q(#,#)有平稳分布L,即L(C)=Qq(r,C)L(dr),以L为初始分布,于是(L,q)唯一确定Exm=Q[0,1]sL(ds)(1)(R,R)上的分布Q,(R,R,Q)就

7、是所需要的环R2(x2m)=E(xm-Exm)=[2~5]境空间.QsL(ds)(1-sL(ds))(2)定理2xn是概率空间(8,F,P)上的平稳[0,1]Q[0,1]过程.E(xm-Exm)(xm+n-Exm+n)=证明(n)QsL(ds)rq(s,dr)-[0,1]Q[0,1]P(xn=1)=G(xn=1)Q(dG)=Q2QsL(ds)(3)n[0,1]Qrq(s,dr)L(ds)=[0,1]Q[0,1]证明(1)式前面已证,(2)式利用数学QrL(dr)=P(x0=1)期望性质可证.只证(3)式,即只须

8、证明[0,1](n)同理有Ex0xn=Q[0,1]sL(ds)Q[0,1]rq(s,dr),P(xn=0)=Q(1-s)L(ds)=P(x0=0)按定义[0,1]Ex0xn=P(x0=1,xn=1)=因此xn的分布与n无关.对任意取0-1值的序列i0,i1,,,in证明QRG(x0=1)G(xn=1)Q(dG)=P(x0=i0,x1=i1,,,xn=in)=(n)QsL(ds)rq(s