非hausdorff线性拓扑空间的拓扑结构

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第29卷第1o期西安交通大学学报Vo1．29N91019954-10HJOURNALOFXl，ANJIAOTONGUNIVERSITYOct-1995非Hausdorff线性拓扑空间的拓扑结构陈勇(理学院)0门]、；摘要通过引入出集、带集、带空间等概念，证明1任何非Hausdorf线性拓扑空间都是带空间，其拓扑结构由零点桌的闭包丽(子空间)决定，是具有固定形式的．随后作为特倒，讨论1有限维非Hausdorff空间，蛤出1更强的结果．关簟调t带集带空间

2、非Hausdorff线性拓扑空间1丛：集舳。。雌锄藿吏孝f]，、带集与带空间’一一～，设x为线性空间，P为x的一个线性子空间，把线性流形=7C+P记为)，称为过的以P为底的线性流形．首先利用线性流形在线性空间中引入丛集、丛体的概念．定义1设x为线性空间，POX为其非零线性子空间，如果ACX满足Vn∈A，Sp(n)cA，则称A是(以P为底的)丛集．称全体以P为底的丛集为一丛体，记为，或简记为丛集有如下一个等价说法．定理l设x为线性空问，则ACX是一丛集的充要条件是A是一族以某非零子空间为底的线性流形

3、之并．证明设A~t'p，则V∈A，)c，因而A可表为一族以尸为底的线性流形之并A—U)(1)，∈月反之，如A=U()(2)这里Sp(y。)均为以P为底的线性流形，r是指标集，于是V∈A，j∈r，∈Sp()，据线性流形性质，∈+P，故—Y，eP，那么V∈P，+=+(弘．一卫)]+∈P+，即(弘．)c+P；另一方面，Vt+2~2+P，t+x=Et+一弘，]+弘．∈P+弘，=()，即+PCSp(y)．故‘收到日期,1993-11-27一阵勇男，l979年10月生．应敦2l班学生维普资讯http://ww

4、w.cqvip.com第10期阵剪c非HadDr“线性拓扑空间的拓扑结}目S，()：P+—S，()(3)由Sp(．．)CA知SP)CA，故A6址毕。丛集还有如下一个重要性质，就是余不变性-定理2设AE，则A'EP'证明设A6P，则V∈A，且必(x)CA，否则有一y6Sv(x)，且y6A，因A∈P，故s，(y)CA，又由线性流形性质易见Sp)=sP(y)CA，则∈A，矛盾·故必S，)CA，此表明A∈P．证毕·带集是一种特殊的丛集+定义2设X为线性空间，P为x的(非零)子空间，≠。∈X，对正数，X的子

5、集z=Us()(其中∈K，K是x的定义数域)是含0的丛集，称它为沿方向以P为底的零点带，记作．称为带径．一零点带．平移后便称为过的沿方向o以P为底的一带．叉设DCX=X＼{8}，满足D中任两个不同的元线性无关，且V∈X，j∈，使对某一。∈D，一，则z—Uz，(其中d为相应带径)称为以P为底的零点带．，记作}。‘Z，，D称为它的环绕集．零点带z平移后就称为(过的)以尸为底的带，记作()．由定义易见以P为底之零点带是吸收集．事实上v∈X，因有与满足一z．再设以为Zp之带径，并取一—则当laI

6、，而I地I≤TII<以，由定义b=—6Z=凸Z·下文中当不特别指明时，沿方向Xo的带的记号中带径常省去．定义3设x是线性空间．BCX，8≠z。∈x，如V6∈B，存在过b沿方向。以P为底的带记肯．+6．(6)CB，则称B为沿方向。以P为底的带集I如Vb6B，有过6的带(6)CB，则称B为以尸为底的带集，简称带集．本文用表示沿方向zo以P为底的带集全体，2则为以P为底的带集全体．值得注意的是．带集与沿某方向的带集是不同的，但它们有如下紧密的联系．定理3设x为线性空间t其子集为带集的充耍条件是且是沿任意

7、方向的带集(gt3~均指以某P为底)．证明(1)必要性．设B为带集，V方向。∈X，V6∈B，由带集定义，jz，(6)=6+U∈．[·因j～∈与数f0'使。一。。；取—i辛，则易知．。cz～cZP．故有．(6)=,-Sb~Ze-Sb=Ze(b)CB，即B6．(2)充分性．采用构造商集法．在x定义～_y，当且仅当与Y线性相关，这是一个等价关系·在商集x／～中，从每一等价类取定∈()，所有取出的组成的集记为D，Vb∈B，V丑∈D·由B6Te．‘知应有Z尸．-b-bgB．取z=nZ^‘，由等价类性质易得D

8、台于环绕集条件，于是Z是零点带·从而Z+b一．‘+6(Zv,n+b)CB·Zv(6)=Z+b即为过6台维普资讯http://www.cqvip.com西安变通大学学于匮第29眷于占之带，故占∈．与丛集似，带集也可表为一族同底带集之并，沿某方向的带集也是一族同底同方向带的并(事实上不难看出一族同底同方向带之并也是沿该方向带集)·定义4设x为线性拓扑空间，如x的任一非空开集均为以某非零线性子空间尸(与不同开集无关)作底的带集，则称x是(以P为底的)带空间．下节将证明，所有非丁线性拓扑空