保域上立方幂等矩阵的线性映射

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1、维普资讯http://www.cqvip.com总37卷第3期数学研究Vo1．37N0．32004年9月JournalofMathematicalStudySep．2004保域上立方幂等矩阵的线性映射曹重光陈涛(黑龙江大学数学系，哈尔滨150080)摘要设F是一个特征不为2及3的域，．(F)记，上n阶全矩阵代数．本文在n≤m时得到了从．(F)到(F)的保立方幂等矩阵的线性映射的形式．作为应用又确定了保群逆线性映射形式．关键词域；立方幂等阵；线性映射中图分类号O151．21文献标识码A1引言设F是一个特征为不2及3

2、的域，．(F)记F上n×11,全矩阵代数．GL．(F)记F上一般线性群．如果∈M。(F)且A=A。，则称为立方幂等阵．全体立方幂等阵构成M．()的子集，记为。(F)．设n，tn为正整数，设L为从。(F)到(F)的线性映射，若A。=A可推出L()。一L()，则称L为保立方幂等的线性映射，所有这样的映射全体构成的集合设为．当n≥tn时，，中元素的形式在E13、E2q、E33中有刻画．本文则要研究I／,≤m的情形．立方幂等保持对广义逆保持十分重要(看E43)，本文作为主要结果的应用还给出了保群逆的线性映射的刻画．本文中

3、我们用‘J记(，)位置是1，其余位置是零的矩阵．，．记n阶单位阵．的转置阵记为，又oB记与B的Kroneeker积．如果A，B∈M．(F)且AB—BA=0，则称与B正交．又记集{1，2，⋯，n)为[1，n]．2主要结果及证明引理1[设chF≠2，3且A，B∈．(F)，则±B∈．(F)当且仅当与B正交．引理2【]设A，B∈M．(F)．若±B，A±2B∈．(F)则下述成立．()B。=0()ABA+BA2+A2B=B引理3[。一设∈T．(F)，则存在P∈GL．(F)使得PAP=一J，0J0O，此处0≤p+口≤．引理4设

4、L∈且对某个∈[1，n]有L(曰)=0，则L=0．证明令A=L(t)，B=L(曰‘J)(≠)，则引理2(ii)及A=0可推出L(曰i)=0，再收稿日期{2003—08一l4基金项目；国家自然科学基金(10271021)；黑龙江省自然科学基金资助(A0107)维普资讯http://www.cqvip.com·3OO·数学研究2004芷由L(2BJJ+2E‘J—一Ej‘)∈T．(F)可知2L(Jj)∈T。(F)．又因为L(Ejj)∈T．(F)，所以L(，，)一0，V∈[1，]．类似上面可证得L(，)一0V，q∈E1，

5、]，即L一0．引理5设L∈，且L()≠0Vi∈E1，]，则存在P∈GL(F)使P一(Ed)尸一[dodiag(一，，，，)]oO．其中p‘+q‘一r‘一秩L(E)，仍一(、’：r‘)+8证明注意到L(“)，L(EJj)，L(E土)∈T。(F)，应用引理l及引理3，参考[2]的定理3．1的证明容易得到．引理6设L∈，，且L()≠0Vi∈E1，-3则存在P∈GL(F)使得(i)(“)一P[(dodrag(一，，Iq))oO．]P一且同时有(。)T(J)一PE(Eij0B+Ej‘oB]P～o0。，Vi≠J其中B与B；‘

6、．J为P+q阶阵，形为drag(x，Y)，其中x∈，(F)，】，∈M(F)．证明注意L()土L(。，)，L(曰)土2L(f)∈T。(F)，由引理2得L(d)L(Ij)L(d)+L(iJ)L(d)+L()L(EiJ)一L(。，)(1)L(EJJ)L(Ij)L(JJ)+L(EiJ)L(Jj)+L(Ejj)L(E)=L(IJ)(2)义由引理5，存在P∈GL(F)使L()一PAP～，L(jJ)一PBP～，L(‘)一PB0P一，其中A一[“odiag(一，．，)]oO。B一凹jjodiag(一，．，Iqi)]oO。OrB3

7、(。·J)⋯B2(。tJB0一B1o·J⋯BO。其中B3‘“∈()，B．‘‘’j∈Mr，(F)．将如上表达式代入(1)及(2)，可推出B3‘‘tD一0，B4‘‘，一0，所以，P一(‘j)P一[oB1‘+oB2‘‘t]00，于是可令L(ij+Ij)一PCP其中一[uoA1+IjoA2]o0。，1，2分别为xJ及Jx‘型阵．由L(Eij+j‘)，L(d+)，÷(“土土‘J土)均属于T。(F)，经计算可得3+3B—AC+BC+CA+CBC+A+B(3)3C=AC+ACB+BC+BCA+CA+CB0(4)对比k-"式两端

8、，易见3diag(-，，口．)一d~g(-，，)xAz+Axdmg(一，，)A2+AxA2diag(-，i，)．．(5)维普资讯http://www.cqvip.com第3期曹重光等：保域上立方幂等矩阵的线性映射·301·3diag(一，，，Iqj)一diag(一，，，Iq)A2Al+A2diag(一，，，Iq)l+A2A1diag(一，，，Iq)，j．i，j(6)dia