2014年线性代数考研重点总结

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1、第七讲二次型一.基本概念1.二次型n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数.例如3元的二次型的一般形式为222f(x1x2x3)=a11x1+a22x2+a33x3+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3.平方项,交叉项实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量x1,x2,…,xn的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.标准二次型交叉项的系数都为0的二次型.2222规范二次型形如x1+…+xp-xp+1…-xp+q的二次型.(p+qn)1.二次型的矩阵二次型可以用矩阵乘积的形式表示:a1

2、1a12a13x1x,x,xaaax2a21232122232=a11x1+22x2+aaax3132333ax2aaxxaaxxaaxx333122112133113233223官方网址www.yumingedu.com北大、人大、中财、北外教授创办集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军1??x122x1+2x2+2x1x2-2x1x3+2x2x3=x1x2x3?2?x2??0x3对角线外的元

3、素不是唯一的,但是如果要求中间的矩阵对称,则是唯一确定的111x1x1x2x3121x2110x3把这个实对称矩阵称为二次型的矩阵.并把它的秩称为二次型的秩,T如果二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵为A,X=(x1,x2,…,xn),则Tf(x1,x2,…,xn)=XAX.标准二次型的矩阵为对角矩阵.规范二次型的矩阵为规范对角矩阵.EP000EP00003.可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x1,x2,…,xn)引进新的变量

4、y1,y2,…,yn,并且把x1,x2,…,xn表示为它们的齐一次线性函数xcycy...cy11111221nnx2c21y1c22y2...c2nyn...................xncn1y1cn2y2...cnnyn官方网址www.yumingedu.com北大、人大、中财、北外教授创办集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军代入f(x1,x2,…,xn)得到y1,y2,…,yn的二次型g(y1,y2,…,yn).把上述过程称为对二次型f(x1,x2,…,

5、xn)作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c11c12...c1nc21c22...c2nc............cn1cn2...cn3是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:TX=CY.其中Y=(y1,y2,…,yn).设f(x1,x2,…,xn)的矩阵为A,则TTTf(x1,x2,…,xn)=XAX=YCACY.T于是g(y1,y2,…,yn)的矩阵为CAC.TTTTT(CAC)=CAC=CAC.T定义两个n阶实对称矩阵A和B,如果存在可逆矩阵C,使

6、得B=CAC,则称A和B合同.记作AB.命题两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同.二.二次型的标准化和规范化1.用可逆线性变量替换化把一个二次型化为标准二次型和规范二次型,称为二次型的标准化和规范化.TT从矩阵的角度看,设f(x1,x2,…,xn)=XAX,就是要找逆矩阵C,使得CAC的对角矩阵.官方网址www.yumingedu.com北大、人大、中财、北外教授创办集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军任何二次型都可用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型.用矩

7、阵的语言来表述即:任何实对称矩阵A都合同于对角矩阵和规范对角矩阵.-1-1TT作正交矩阵Q,使得QAQ=是对角矩阵.由于Q=Q,QAQ=.A和既相似又合同.实对角矩阵有总是合同于规范对角矩阵的.例如40002000100020000900030001000300004000200010002000000001000000012.标准化的方法-1①正交变换法对二次型的矩阵A,作正交矩阵Q

8、,使得QAQ=是对角矩阵,于是可逆线性变量替换X=QY,把原二次型化为标准二次型.以上变换中变换矩阵Q是正交矩阵,所以称为正交变换.222222例4已知二次型2x1+3x2+3x3+2ax2x3(a>0)可用正交变换化为y1+2y2+5y3,求a和所作正交变换.(93一)200100A03aY0200a3005A29a210,a24,a2T222例5设二