长春吉林大学附属实验学校2016级高二年级数学学科《圆锥曲线的参数方程》教师版学案

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1、建春*丸甜中幺琏求艮2016级高二年级数学学科学案学案类型：新授课材料序号：13编稿教师：滕苑审稿教师：金莹选修4-4第四讲圆锥曲线的参数方程一、学习目标(1)掌握圆锥曲线的参数方程，会用参数方程求解一些最值问题.(2)掌握椭圆参数方程，理解椭圆参数方程中&的儿何意义.(3)了解抛物线和双曲线的参数方程，了解抛物线参数方程中参数的几何意义.二、知识解析(一)椭圆的参数方程如图所示，以原点O为圆心，a,b(a>b>0)为半径分别作两个同心圆.设力为大圆上的任一点，连接Q4,与小圆交于点过点A,B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点设以Ox为始边，0/为

2、终边的角为°,点M的坐标是(x,y).那么点/的横坐标为x,点E的纵坐标为y.由于点A,B均在角0的终边上，由三角函数的定义有：x^OAcos(p=acoscp,y=

3、OB

4、sin(p=bsx(p.当半径04绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是为参数)[y=bs(p,这是中心在原点0,焦点在X轴上的椭圆.在椭圆的参数方程屮，通常规定参数炉的范围为2龙).(-)双曲线的参数方程如图所示，以原点O为圆心，Q,b(G>0,b>())为半径分别作同心圆q,c2.设/为圆c;上任一点，作直线04,过点力作圆G的切线力彳与x轴交于点"

5、，过圆C?与x轴的交点〃作圆C?的切线33’与直线04交于点口.过点4"分别作，轴，x轴的平行线A'M,BfM交于点M.设Ox为始边，CM为终边的角为0,点M的坐标是(x,y),么点A的坐标为(x,0)，点Bf的坐标为@,尹).因为点/在圆G上，由圆的参数方程得点力的坐标为(Geos。，dsin©),所以OA=(acos(pfasin(p),AAf=(x-acos(pf-asin(p).因为刃丄兀？，所以O4-Z?=0,从而acos(p(x一acos0)-(asin=0解得x=—-—.iid—-—=sec0,贝>Jx=asec0.COS0COS0因为

6、点F在角0的终边上，由三角函数的定义有tan^=^,^y=btan(p.h*所以，点M的轨迹的参数方程为x=asec(Pf(°为参数).y=btan(p,22rtlsec2tan2^=1消去参数0后得到点M的轨迹的普通方程2-厶=1.crZr在双曲线的参数方程中，通常规定参数0的范围为0$[0,2龙)，口0工彳，0工

7、■龙.(三)抛物线的参数方程如图所示，设抛物线的普通方程为y2=2pxf其中"表示焦点到准线的距离.设M(x,刃为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作显然，当&在(--,-)内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于Q的每

8、一个值，在抛物线上都有22唯一的点M与之对应.因此，可以取Q为参数来探求抛物线的参数方程.由于点M在Q的终边上，根据三角函数定义可得-=tan^z.可得2pX—；9

9、求出最小距离.94解析：因为椭圆的参数方程为x3cos(p,(°为参数)，所以点M的坐标为(3cos02sin0).尹=2sin°,由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为34」3cos0+4sin0-lO

10、°•(严叩+尹叱)-10

11、亦/d=十眞=——気=—15cos(0-%)-10

12、其中0()满足cos^f)=-,sin^?0=-.

13、±1三角函数性质知，当(p_(Po=()时，d取最小值亦.此时983cos0=3cos%=—,2sin0=2sin%=—•因此，当点M位于(-,-)时，点M与直线x+2y-10=()的距离取最小值厉.类型二双曲线的

14、参数方程例2如图，设M为双曲线斗-斗=l(°,b〉0)上任意一点，O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于力、B两点.探求平行四边形M/OB的面积，由此可以发现什么结论？解析:双曲线的渐近线方程为y=±-x.不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为b(asec0,btan(p),则直线胚4的方程为尹一btan0=——(x-asec(p).(*)a将夕帯入(*),解得点/的坐标为心=£(sec°+tan。).同理可得，点B的横a2坐标为xB=—(sec(p一tan(p).设Z-AOx=a,贝ijtan6T=—.因此,asMA()B=O

15、A-OBsin2a=^^cosa类型三抛物线的参数方程例3如图，O是直角坐标原点，A.并与力〃相交于点