《随机过程》孙文昌

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1、第一章随机过程的一般理论初等概率论所研究的随机现象,基本上可由一个或有限多个随机变量来描述.虽然那里也考虑了随机变量序列,但一般假定它们是相互独立的.在实际中,我们还要研究一些随机现象的发展和变化过程,而且所考虑的随机事件要涉及无限(非可列)多个随机变量.这时我们就需要用一族随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计规律性.通常我们把一族随机变量称为随机过程.下面是一些简单例子.例1.1在研究生物群体的增长问题时,为了描述群体的发展或演变过程,就要在每一时刻t记录群体的数量xt,每一xt是随机变量.假设我们从t=0开始连续地观测,则{x

2、t,t∈[0,+∞)}就是一个随机过程.例1.2在海浪分析中,需要观测在固定点上海平面的垂直振动.设xt表示在固定点上,于时刻t海平面相对于平均平面的高度,则xt是随机变量,而{xt,t∈[0,+∞)}是随机过程.例1.3在地震预报中,若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级,令xn表示第n次统计所得的值,则xn是随机变量.为了预测该地区未来地震的强度,我们就要研究随机过程{xn,n=0,1,2,···}的统计规律.例1.4以Ω表示一些大小为m×n的图象(样本点)的集合,fi,j(ω)表示图象ω∈Ω在坐标(i,j)处的颜色值.对

3、固定的图象位置(i,j),fi,j(ω)是随机变量;而对固定的图象ω,fi,j(ω)是位置的函数.这里,{fi,j(ω):1≤i≤m,1≤j≤n}是随机过程.注意,在这个例子中,参数集{(i,j)}是二维的.在给出随机过程的定义之前,先回顾一下概率论中的一些基本知识.·1·第一章随机过程的一般理论2§1.1公理概率论基础定义1.1随机事件中的每个可能结果称为样本点，样本点的全体称为样本空间。设F是由样本空间Ω的某些子集构成的集合,满足以下条件:(i).Ω∈F;(ii).若A∈F,则Ac∈F,其中Ac表示A在Ω中的余集,即Ac=ΩA

4、.∪∞(iii).对任何An∈F,n≥1,有n=1∈F.则称F为Ω上的σ-代数,而F中的集合称为随机事件,简称事件.§1.1.1一些例子设Ω是一个集合,F={A:A⊂Ω},即F是由Ω的所有子集组成的集合.容易验证,F是一个σ-代数.令G={Ø,Ω},则G也是σ-代数.F,G分别是Ω上的最大和最小σ-代数.容易验证,任意多个σ-代数的交仍是σ-代数.设E是由Ω的一些子集组成的集合.记σ(E)为所有包含E的Ω上的σ-代数的交,则σ(E)是σ-代数,称为由E生成的σ-代数.问题举例证明,σ-代数的并未必是σ-代数.Ω={1,2,3,4}F

5、1={{1,2},{3,4},{1,2,3,4},∅},F2={{1,3},{2,4},{1,2,3,4},∅}.σ-代数有如下性质:定理1.1设F是σ-代数,则(i).Ø∈F;∩∞(ii).若An∈F,n≥1,则n=1An∈F;∪n∩n(iii).若A1,···,An∈F,则k=1Ak∈F,k=1Ak∈F;(iv).若A,B∈F,则AB∈F.证明.只证明(i)(iv).由σ-代数的定义,Ø∈F.另一方面,∩[∩]c[∪]cAB=ABc=(ABc)c=AcB.cc∪∪∞令A1=A,A2=B,An=Ø,n≥3,则An∈F,n≥1,

6、从而AB=n=1An∈F.所∪以AB=[AcB]c∈F.定义1.2设F是样本空间Ω上的σ-代数,P是F上的实值函数,满足:(i).非负性:对任何A∈F,P(A)≥0;第一章随机过程的一般理论3(ii).规范性:P(Ω)=1;(iii).可数可加性:对F中任何两两不相交的集合(事件)列{An:n≥1},有∪∞∑∞P(An)=P(An).n=1n=1则称P为(Ω,F)上的概率测度,P(A)称为事件A的概率,(Ω,F,P)称为概率空间.定理1.2设(Ω,F,P)为概率空间,概率P具有以下性质:(i).P(Ω)=0.∩(ii).若Ai∈Ω

7、,1≤i≤n,AiAj=∅,i̸=j,则()∪n∑nPAi=P(Ai).i=1i=1(iii).对任何A∈F,P(A)=1−P(Ac).(iv).若A⊂B,则P(BA)=P(B)−P(A),(v).对任何Ai∈F,()∪n∑nPAi≤P(Ai).i=1i=1()∪n∑n∑∩∑∩∩PAi=P(Ai)−P(AiAj)+P(AiAjAk)i=1i=11≤i

8、1,则()∩∞limP(Ai)=PAi.i→∞i=1定义1.3设(Ω,F,P)是概率空间,ξ=ξ(ω)为Ω上的实函数.如果ξ是(Ω,F)上的可测函数,即对任何x∈R,{ω:ξ(ω)