全国高考函数大题

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1、21.(本小题满分13分)已知函数(I)求函数的单调区间;(Ⅱ)若不等式对任意的都成立(其中e是自然对数的底数).求a的最大值.解:(Ⅰ)函数的定义域是,设则令则当时,在(-1,0)上为增函数,当x>0时,在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值,而h(0)=0,所以,函数g(x)在上为减函数.于是当时,当x>0时,所以,当时,在(-1,0)上为增函数.当x>0时,在上为减函数.故函数的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为.(Ⅱ)不等式等价于不等式由知,设则(构造函数)由(Ⅰ)知,即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G(x)在上的最小值为所以a的

2、最大值为21.(本小题满分12分)矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。已知函数,其中,为常数.(Ⅰ)当时,求函数的极值;(Ⅱ)当时,证明:对任意的正整数,当时,有.解:21.(Ⅰ)解:由已知得函数的定义域为,当时,,所以.(分类讨论)(1)当时,由得,,此时.当时,,单调递减;当时,,单调递增.(2)当时,恒成立,所以无极值.综上所述,时,当时,在处取得极小值,极小值为.当时,无极值.(Ⅱ)证法一:因为,所以.当为偶数时,(分类讨论)令,则().所以当时,单调递增,又,因此恒成立,所以成立.当为奇数时,要证,由于,所以只需证,(常用的不等式)令,则(),所以当时,单调递增,

3、又,所以当时,恒有,即命题成立.综上所述,结论成立.证法二:当时,.当时,对任意的正整数,恒有,故只需证明.(常用的不等式)令,,则,当时,,故在上单调递增,因此当时,,即成立.故当时,有.即.20(07湖北)(本小题满分13分)已知定义在正实数集上的函数,,其中设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同(I)用表示,并求的最大值;(II)求证:()20本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力解:(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同,,由题意,(方程的思想)即由得:,或(舍去)即有()令,则于是当,即时,;当,即时,故在为增函数

4、,在为减函数,于是在的最大值为(Ⅱ)设,(构造函数)则故在为减函数,在为增函数,于是函数在上的最小值是故当时,有,即当时,22(本小题满分14分)已知函数(Ⅰ)若,试确定函数的单调区间;(Ⅱ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;(Ⅲ)设函数,求证:22 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力 满分14分聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解:(Ⅰ)由得,所以由得,故的单调递增区间是,由得,故的单调递减区间是(Ⅱ)由可知是偶函数于是对任意成立

5、等价于对任意成立由得(分类讨论)①当时,此时在上单调递增故,符合题意②当时,当变化时的变化情况如下表:单调递减极小值单调递增由此可得,在上,依题意,,又综合①,②得,实数的取值范围是(Ⅲ),,(基本不等式),(赋值法,迭乘法)由此得,故(22)(本小题满分14分)设函数.(Ⅰ)证明,其中为k为整数;(Ⅱ)设为的一个极值点,证明;(Ⅲ)设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明(22)解:(Ⅰ)证明:由函数的定义,对任意整数,有(验证法).(Ⅱ)证明:函数在定义域上可导,①令,得.显然,对于满足上述方程的有,上述方程化简为.此方程一定有解.的极值点

6、一定满足.由,得.因此,.(先用分析法)(Ⅲ)证明:设是的任意正实数根,即,则存在一个非负整数,使,即在第二或第四象限内.(数形结合)由①式,在第二或第四象限中的符号可列表如下:的符号为奇数-0+为偶数+0-所以满足的正根都为的极值点.由题设条件,,,…,,…为方程的全部正实数根且满足,那么对于,.②由于,,则,由于,由②式知.由此可知必在第二象限,即.综上,.22.(本题满分15分)已知函数在上的最小值为,,是函数图像上的两点,且线段的中点P的横坐标为.(1)求证:点P的纵坐标是定值;(2)若数列的通项公式为,求数列的前m项和;(3)设数列满足:,设,若(2

7、)中的满足对任意不小于2的正整数n,恒成立,试求m的最大值.22.(本题满分15分)(分类讨论)解:(1)当时,在上单调递减,又的最小值为,∴,得t=1;当时,在上单调递增,又的最小值为,∴,得t=2(舍);当t=0时,(舍),∴t=1,.∵∴,∴,即p点的纵坐标为定值。(2)由(1)可知,,所以,即由,…①得…②(倒序相加法)由①+②,得∴(3)∵,……③∴对任意的.……④由③、④,得即.(裂项相消法)∴.∵∴数列是单调递增数列.∴关于n递增.当,且时,.∵∴∴即∴∴m的最大值为6.BNFANCNOXY重庆卷如图,对每个正整数,是抛物线上的点,过焦点的直线交

8、抛物线于另一点.(Ⅰ)试证:;(Ⅱ)取

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