西安电子科技大学秋研究生随机过程考试

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1、西安电子科技大学研究生课程考试试题考试科目：随机过程课程编号：0721001考试日期：2012年1月4日考试时间：150分考试方式：(闭卷)任课教师：班号学生姓名：学号：一.（15分）随机过程被称为一个标准布朗运动，如果它满足：(a)；(b)是平稳独立增量过程；(c)对任意的，随机变量.试计算或证明以下问题：矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。(1)对于任意，定义，其中是实数，.证明随机过程是一个正态过程.(2)对于任意，定义，计算随机过程的一维分布函数和其一维密度函数.二.（12分）设为一个参数为1的泊松过程.证明：对任意的，其中.三.（13分）设是一个参数为σ2布朗运动.对任意的，定义.试回

2、答下面的问题：(1)求随机过程的均值函数和相关函数.(2)判断随机过程是否均方连续和均方可导.解（1）B是标准布朗运动,于是.（1分）因（1分）故由均方积分过程的相关函数等于被积过程相关函数的二重积分得:当时（1分）当时（1分）从而①（1分）（2）由①知,相关函数是二元连续函数,从而过程X均方连续.注意到②③（3分）因偏导在处的连续性显见,故在(t,t)处的一阶偏导存在且为.进一步由②,③不难得到聞創沟燴鐺險爱氇谴净。④⑤（3分）从而在(t,t)处的二阶偏导也存在,为,显然是连续的.于是过程X的相关函数广义二阶可导，从而过程本身均方可导.（2分）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。四.（12分）

3、设随机过程是一个相关函数为(其中和)的平稳过程.对任意的，定义.（1）证明随机过程是平稳过程.（2）求出过程的谱密度.证（1）因X是平稳过程,故与时间t无关，对任何t成立.从而与t无关.（2分）（4分）即只与t-s有关.因此，Y是平稳过程.（2）因（2分）故Y的谱密度（4分）五.（12分）设是一个具有有限方差的随机变量.对任意的，定义.问：当随机变量满足什么条件时，随机过程具有均值和相关函数的各态历经性.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解由题设立得（3分）于是过程X是平稳过程.由定义有X的时间平均：（2分）X的时间相关函数：（2分）因X的均值具有各态历经性,即.（2分）X的相关函数具有各态历

4、经性,即.（2分）由上两个等价条件中的任一个知,当且仅当几乎必然是常数时，过程X才具有均值各态历经性和相关函数的各态历经性.（1分）彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。注：实过程X的均值各态历经性也可用如下判别条件因,故X的均值具有各态历经性等价于，即几乎必然是常数.相关函数各态历经性的其它等价判别条件需要至少具有四阶矩，不在本题考虑范围之内.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。六.（12分）已知一齐次马尔可夫链的状态空间，且其一步转移概率矩阵为试回答下面的问题：(1)对状态空间状态分解.(2)求状态5的首达概率和以及计算.七.（12分）设为一齐次马尔可夫链的常返状态且周期为，则一定有，其中为状态的平均返回时

5、间.证明下面的问题：(1)状态为零常返当且仅当.(2)状态为遍历的当且仅当.八.（12分）设齐次马尔可夫链的状态空间，且其一步转移概率矩阵为（1）试对状态空间进行分解.（2）问平稳分布是否存在？如果存在试求出所有的平稳分布.（3）设初始分布，其中，求概率和概率.